pythagorean-theoremsimilar-trianglescoordinate-geometryarea-trianglesarea-rectanglesidentify-subproblemsarea-differencecomplementary-counting↑ 선수 지식:pythagorean-theoremsimilar-triangles
📏 긴 풀이💡 3 개 인사이트📊 도형
문제
The diagram below shows a rectangle with side lengths 4 and 8 and a square with side length 5. Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?
문제 재정리: $4 \times 8$ 직사각형 안에 변의 길이가 $5$ 인 정사각형이 들어 있습니다. 정사각형의 세 꼭짓점이 직사각형의 서로 다른 세 변 (아래, 오른쪽, 위) 위에 놓여 있습니다. 두 도형이 겹치는 영역의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 직사각형의 두 변의 길이는 $4$ 와 $8$; 정사각형의 한 변의 길이는 $5$; 정사각형의 세 꼭짓점이 직사각형의 서로 다른 세 변 위에 놓임 (아래·오른쪽·위 변에 하나씩); 선택지: (A) $15\tfrac{1}{8}$, (B) $15\tfrac{3}{8}$, (C) $15\tfrac{1}{2}$, (D) $15\tfrac{5}{8}$, (E) $15\tfrac{7}{8}$
구하는 것: 정사각형과 직사각형이 동시에 차지하는 영역의 넓이
이해
문제 재정리: $4 \times 8$ 직사각형 안에 변의 길이가 $5$ 인 정사각형이 들어 있습니다. 정사각형의 세 꼭짓점이 직사각형의 서로 다른 세 변 (아래, 오른쪽, 위) 위에 놓여 있습니다. 두 도형이 겹치는 영역의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 직사각형의 두 변의 길이는 $4$ 와 $8$; 정사각형의 한 변의 길이는 $5$; 정사각형의 세 꼭짓점이 직사각형의 서로 다른 세 변 위에 놓임 (아래·오른쪽·위 변에 하나씩); 선택지: (A) $15\tfrac{1}{8}$, (B) $15\tfrac{3}{8}$, (C) $15\tfrac{1}{2}$, (D) $15\tfrac{5}{8}$, (E) $15\tfrac{7}{8}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기
도구 #1 (그림): 직사각형을 $[0,8] \times [0,4]$ 좌표에 올려놓기. 도구 #7 (쪼개기): 정사각형의 비스듬한 변과 직사각형 아래/오른쪽 변이 만드는 두 직각삼각형이 모두 3-4-5 — 이것으로 모든 꼭짓점의 좌표가 결정됩니다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 겹치는 영역 (오각형) 을 직접 구하는 대신, 정사각형 전체 넓이 ($25$) 에서 직사각형 위로 삐져나간 작은 삼각형을 빼는 쪽이 훨씬 깔끔합니다.
실행 — 정답: D
#1 그림 그리기 5.G.A.1단계 1
직사각형을 $(0,0)$, $(8,0)$, $(8,4)$, $(0,4)$ 에 놓고, 직사각형 변 위에 있는 정사각형의 세 꼭짓점을 위쪽 변의 $A$, 아래쪽 변의 $B$, 오른쪽 변의 $C$ 라 하자.
그림에서 $A$-$B$-$C$ 는 연속한 세 꼭짓점이며 직각은 $B$ 에 있으므로 $AB = BC = 5$.
$$AB = BC = 5,\ \angle ABC = 90°$$
💡 좌표를 도입하면 그림 문제가 계산 문제로 바뀝니다.
#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7단계 2
$A$ 에서 아래쪽 변에 수선을 내려 그 발을 $A'$ 라 하면, 삼각형 $AA'B$ 는 세로변 $AA' = 4$ (직사각형 높이), 빗변 $AB = 5$ 인 직각삼각형.
남은 가로변은 $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ — 친숙한 3-4-5 직각삼각형.
$$A'B = \sqrt{25 - 16} = 3$$
💡 세로 $4$, 빗변 $5$ — 남은 변은 반드시 $3$.
#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.A.2단계 3
대칭으로, $B$ 에서 오른쪽 변 $x = 8$ 까지의 두 번째 삼각형도 가로 $4$, 세로 $3$ 의 3-4-5.
따라서 $B$ 는 모서리 $(8,0)$ 에서 왼쪽으로 $4$ 떨어진 $B = (4, 0)$.
$A$ 는 $B$ 에서 왼쪽으로 $3$ 떨어진 $A = (1, 4)$.
$C$ 는 $(8,0)$ 에서 위로 $3$ 떨어진 $C = (8, 3)$.
$$A = (1, 4),\ B = (4, 0),\ C = (8, 3)$$
💡 두 개의 같은 3-4-5 삼각형이 정사각형의 직각 꼭짓점 $B$ 양쪽을 감쌉니다.
#1 그림 그리기 5.G.A.2단계 4
정사각형의 네 번째 꼭짓점 $D$.
$ABCD$ 가 정사각형이므로 $D = A + (C - B) = (1,4) + (4,3) = (5, 7)$.
직사각형 윗변은 $y = 4$, 그런데 $D$ 의 $y$ 좌표는 $7$ 이므로 $D$ 는 직사각형 위로 $3$ 만큼 삐져나옵니다.
$$D = (1+4,\ 4+3) = (5, 7)$$
💡 $A$ 에 변 벡터 $\vec{BC}$ 를 더해 맞은편 꼭짓점 $D$ 를 얻습니다.
#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.B.6단계 5
정사각형 변 $CD$ 가 직사각형 윗변 $y = 4$ 와 만나는 점 찾기.
$C(8,3)$ 에서 $D(5,7)$ 까지의 기울기는 $\tfrac{7-3}{5-8} = -\tfrac{4}{3}$.
합리성 확인: 겹친 부분은 정사각형 ($25$) 보다도 작고 직사각형 ($32$) 보다도 작아야 하는데, $15\tfrac{5}{8}$ 는 둘 다 만족합니다. 삐져나간 삼각형 넓이 $\tfrac{75}{8} \approx 9.4$ 는 밑변 $\approx 6.25$, 높이 $3$ 의 삼각형으로서 자연스러운 크기. 선택지가 $15\tfrac{1}{8}$ 부터 $15\tfrac{7}{8}$ 까지 $\tfrac{1}{8}$ 간격으로 촘촘해서, $\tfrac{75}{8}$ 을 정확히 계산해야만 답이 갈립니다.
대안 접근: 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 겹친 오각형의 꼭짓점을 차례로 늘어놓고 신발끈 공식 (Shoelace) 으로 직접 넓이 계산: 꼭짓점은 $(1,0), B(4,0), (8,0), C(8,3), G(\tfrac{29}{4}, 4), A(1,4)$. 정사각형의 왼쪽 변이 $A(1,4)$ 에서 $(1,0)$ 까지 직사각형 안쪽에 들어 있다는 사실을 빠뜨리지 말 것. 신발끈으로 계산해도 결국 $\tfrac{125}{8}$ 가 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
5.G.A.1 수직인 두 수직선으로 좌표평면 구성 (직사각형을 $(0,0)$–$(8,4)$ 좌표에 놓아 꼭짓점을 수치화.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 모르는 변 구하기 (다리 $4$, 빗변 $5$ 인 3-4-5 직각삼각형에서 남은 다리 $3$ 구하기.)
5.G.A.2 좌표평면에 점을 찍어 실생활·수학 문제 표현 (정사각형 네 꼭짓점을 $A(1,4)$, $B(4,0)$, $C(8,3)$, $D(5,7)$ 좌표로 고정.)
8.EE.B.6 닮은 삼각형으로 두 점 사이 기울기 설명 (변 $CD$ 의 기울기 $-\tfrac{4}{3}$ 을 구해 $y = 4$ 와의 교점 결정.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형 넓이를 분해하여 구하기 (삐져나간 삼각형 넓이를 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 계산.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($25 = \tfrac{200}{8}$ 에서 $\tfrac{75}{8}$ 을 빼서 $\tfrac{125}{8}$ 으로 마무리.)
⭐ 숨어 있는 두 개의 3-4-5 직각삼각형이 정사각형의 모든 꼭짓점을 잡아 줍니다. 정사각형 위쪽 꼭짓점 $(5, 7)$ 이 직사각형 밖으로 삐져나가니까, 그 작은 삼각형 (넓이 $\tfrac{75}{8}$) 을 잘라 내면 남는 게 $25 - \tfrac{75}{8} = 15\tfrac{5}{8}$, 선택지 $\textbf{(D)}$.
⭐ 숨어 있는 두 개의 3-4-5 직각삼각형이 정사각형의 모든 꼭짓점을 잡아 줍니다. 정사각형 위쪽 꼭짓점 $(5, 7)$ 이 직사각형 밖으로 삐져나가니까, 그 작은 삼각형 (넓이 $\tfrac{75}{8}$) 을 잘라 내면 남는 게 $25 - \tfrac{75}{8} = 15\tfrac{5}{8}$, 선택지 $\textbf{(D)}$.
