AMC 10 · 2024 · #1
학년 7 arithmeticalgebra문제
What is the value of 9901⋅101−99⋅10101?
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AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $9901 \cdot 101 - 99 \cdot 10101$ 의 값을 구해 다섯 개의 보기 중 하나와 맞추세요.
주어진 것: 식: $9901 \cdot 101 - 99 \cdot 10101$; 핵심 수 네 개: $9901$, $101$, $99$, $10101$; 보기: (A) $2$, (B) $20$, (C) $200$, (D) $202$, (E) $2020$
구하는 것: 식의 값
이해
문제 재정리: $9901 \cdot 101 - 99 \cdot 10101$ 의 값을 구해 다섯 개의 보기 중 하나와 맞추세요.
주어진 것: 식: $9901 \cdot 101 - 99 \cdot 10101$; 핵심 수 네 개: $9901$, $101$, $99$, $10101$; 보기: (A) $2$, (B) $20$, (C) $200$, (D) $202$, (E) $2020$
계획
주요 도구: #16 대칭 이용하기 / 변형하기
보조 도구: #4 변수 도입하기
$9901 \cdot 101$ 과 $99 \cdot 10101$ 을 그대로 곱하면 다섯 자리 수 두 개가 나와 실수하기 쉬워요. 대신 $9901 = 99 \cdot 100 + 1$, $10101 = 101 \cdot 100 + 1$ 처럼 두 큰 수가 모두 "다른 인수 $\times 100$ 더하기 $1$" 구조로 깔끔하게 쪼개진다는 점을 활용합니다. 이것이 도구 #16(변형하기)이 노리는 대칭이에요 — 식을 다시 써서 큰 항이 통째로 상쇄되게 만드는 거죠. 도구 #4(변수 도입하기)로 $a = 99$, $b = 101$ 이라 두면 그 대칭이 한눈에 보이고, 전체 문제가 한 줄짜리 대수 계산으로 줄어듭니다.
실행 — 정답: A
6.EE.A.2 단계 1 - 작은 두 수에 이름을 붙입니다.
- $a = 99$, $b = 101$ 이라 둡시다.
- 그리고 큰 두 수도 $a$, $b$ 로 다시 써 봅시다.
💡 반복되는 수에 짧은 이름을 붙이는 건 6학년 "문자가 수를 대신한다" 단계 그대로예요. 숨어 있던 대칭이 잘 보이게 됩니다.
6.EE.A.3 단계 2 - 원래 식을 $a$, $b$ 로 다시 씁니다.
- $100$ 이라는 인수가 양쪽에 똑같이 나오도록 자리가 맞춰집니다.
💡 같은 식, 다른 옷차림 — 대입 자체가 값을 바꾸지는 않지만 짝이 맞는 조각들을 나란히 보여줘요.
7.EE.A.1 단계 3 - 분배법칙으로 양쪽 곱을 전개합니다.
- $100ab$ 항이 양쪽에 부호만 반대로 등장합니다.
💡 특히 두 번째 괄호 앞의 빼기 부호를 빠뜨리지 않게 조심하면서 분배하세요.
7.EE.A.1 단계 4 - 겹치는 $100ab$ 항을 상쇄하고 $a$, $b$ 를 다시 대입합니다.
- 거대한 계산이 한 번의 뺄셈으로 줄어듭니다.
💡 무거운 항이 사라지고 나면 작은 $+b$ 와 $-a$ 만 남고, 그 차이는 그냥 $2$ 예요.
6.EE.A.2 작은 두 수에 이름을 붙입니다. $a = 99$, $b = 101$ 이라 둡시다. 그리고 큰 두 수도 $a$, $b$ 로 다시 써 봅시다. 6.EE.A.3 원래 식을 $a$, $b$ 로 다시 씁니다. $100$ 이라는 인수가 양쪽에 똑같이 나오도록 자리가 맞춰집니다. 7.EE.A.1 분배법칙으로 양쪽 곱을 전개합니다. $100ab$ 항이 양쪽에 부호만 반대로 등장합니다. 7.EE.A.1 겹치는 $100ab$ 항을 상쇄하고 $a$, $b$ 를 다시 대입합니다. 거대한 계산이 한 번의 뺄셈으로 줄어듭니다. 검토
합리성 확인: 보기 값들이 $2$, $20$, $200$, $202$, $2020$ 으로 점점 커지는 형태인 것 자체가 "상쇄를 알아챘냐" 를 묻는 출제 의도입니다. 직접 곱해도 확인됩니다: $9901 \cdot 101 = 1{,}000{,}001$, $99 \cdot 10101 = 999{,}999$, 따라서 $1{,}000{,}001 - 999{,}999 = 2$. 두 거대한 곱이 정확히 $2$ 만큼 차이 나는데, 이 값이 $b - a = 101 - 99$ 과 정확히 같으므로 $\textbf{(A)}$ 가 유일하게 일관된 답입니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 직접 계산할 수도 있어요: $9901 \cdot 101 = 1{,}000{,}001$, $99 \cdot 10101 = 999{,}999$, 빼면 $2$. 답은 나오지만 시간이 들고 산수 실수가 끼어들 여지가 큽니다. 시험장에서는 대수적 변형이 훨씬 안전합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.A.2문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 ($a = 99$, $b = 101$ 로 두어 네 개의 수치를 $a$, $b$, $100a + 1$, $100b + 1$ 로 표현하는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($9901$ 과 $10101$ 의 분해된 형태를 대입해 원래 식을 동치 식 $(100a + 1)b - a(100b + 1)$ 로 바꾸는 데 사용.)7.EE.A.1유리수 계수 일차식의 덧셈, 뺄셈, 인수분해, 전개에 연산의 성질을 전략으로 적용하기 ($(100a + 1)b - a(100b + 1)$ 을 분배법칙으로 전개하고 $100ab$ 항을 상쇄시켜 식을 $b - a$ 로 축약하는 데 사용.)
⭐ 커 보이는 수들도 종종 작은 구조를 숨기고 있어요. $99$ 와 $101$ 을 $a$, $b$ 로 부르면 짝이 맞는 $100ab$ 가 보이고, 그 부분이 상쇄되면서 AMC 10 1번이 7학년 분배법칙 문제로 변신합니다!
⭐ 커 보이는 수들도 종종 작은 구조를 숨기고 있어요. $99$ 와 $101$ 을 $a$, $b$ 로 부르면 짝이 맞는 $100ab$ 가 보이고, 그 부분이 상쇄되면서 AMC 10 1번이 7학년 분배법칙 문제로 변신합니다!
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