AMC 8 · 2007 · #23
학년 6 geometry-2d문제
What is the area of the shaded pinwheel shown in the 5×5 grid?
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AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $5 \times 5$ 단위 격자 안에 색칠된 바람개비 도형이 있습니다. 바람개비의 네 날개는 격자의 중심에서 만나고, 바람개비의 윤곽은 격자선과 중심을 지나는 직선 위에 그려져 있습니다. 색칠된 바람개비의 넓이를 제곱 단위로 구하세요.
주어진 것: 격자는 한 변이 $5$ 인 정사각형이며 $25$ 개의 단위 정사각형으로 이루어져 있다; 바람개비는 격자 중심을 기준으로 $4$ 회 회전 대칭이다; 왼쪽 아래 꼭짓점을 원점에 두면 격자의 중심은 $(2.5, 2.5)$ 이다; 각 날개의 바깥쪽 변은 격자의 변에 닿으며, 색칠되지 않은 영역은 $5 \times 5$ 정사각형 안에서 바람개비를 뺀 나머지이다; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $10$, (E) $12$
구하는 것: 색칠된 바람개비의 넓이 (제곱 단위)
이해
문제 재정리: $5 \times 5$ 단위 격자 안에 색칠된 바람개비 도형이 있습니다. 바람개비의 네 날개는 격자의 중심에서 만나고, 바람개비의 윤곽은 격자선과 중심을 지나는 직선 위에 그려져 있습니다. 색칠된 바람개비의 넓이를 제곱 단위로 구하세요.
주어진 것: 격자는 한 변이 $5$ 인 정사각형이며 $25$ 개의 단위 정사각형으로 이루어져 있다; 바람개비는 격자 중심을 기준으로 $4$ 회 회전 대칭이다; 왼쪽 아래 꼭짓점을 원점에 두면 격자의 중심은 $(2.5, 2.5)$ 이다; 각 날개의 바깥쪽 변은 격자의 변에 닿으며, 색칠되지 않은 영역은 $5 \times 5$ 정사각형 안에서 바람개비를 뺀 나머지이다; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $10$, (E) $12$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
바람개비의 변은 기울어져 있고 윤곽도 복잡하지만, 색칠되지 않은 영역은 훨씬 단순합니다 — 모서리 단위 정사각형 네 개와 변 위 삼각형 네 개뿐이죠. 이것이 도구 #16(여집합 세기)의 신호입니다: 측정하기 쉬운 쪽을 잰 다음 전체에서 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 왼쪽 아래 꼭짓점을 $(0,0)$ 에 두면 중심은 $(2.5, 2.5)$ 가 되고 모든 날개 끝의 좌표가 깔끔해집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 색칠되지 않은 영역을 두 종류 — $1 \times 1$ 정사각형 네 개와 합동 삼각형 네 개 — 로 나누면, 각각이 6학년 기본 넓이 공식으로 떨어집니다.
실행 — 정답: B
5.G.A.1 단계 1 - 좌표를 잡습니다.
- 격자의 왼쪽 아래 꼭짓점을 $(0, 0)$ 에 두면 격자는 $0 \le x \le 5$, $0 \le y \le 5$ 를 덮습니다.
- 중심은 $(2.5, 2.5)$ 이고 전체 넓이는 $5 \times 5 = 25$.
- 색칠되지 않은 넓이를 구해 $25$ 에서 빼는 전략입니다.
💡 도형을 좌표 격자 위에 올려놓는 것은 5학년 좌표 단원의 기본 — 모든 꼭짓점이 깔끔한 수가 됩니다.
3.MD.C.7 단계 2 - 색칠되지 않은 네 모서리 정사각형을 셉니다.
- 격자의 각 모서리에는 바람개비가 덮지 않는 $1 \times 1$ 정사각형이 하나씩 있고 (예: 왼쪽 아래 모서리 $(0,0)$ 부터 $(1,1)$ 까지), 그 넓이는 각각 $1$ 입니다.
💡 똑같은 단위 정사각형 네 개의 합 — 3학년 정사각형 넓이 더하기입니다.
6.G.A.1 단계 3 - 색칠되지 않은 네 변 삼각형 중 하나의 넓이를 구합니다.
- 아래 삼각형의 꼭짓점은 $(1, 0)$, $(4, 0)$, 중심 $(2.5, 2.5)$ 입니다.
- $(1,0)$ 과 $(4,0)$ 을 잇는 변을 밑변으로 잡으면 $x$ 축 위에 있어서 길이는 $4 - 1 = 3$.
- 높이는 $(2.5, 2.5)$ 에서 $x$ 축까지의 수직 거리 $2.5$ 입니다.
💡 밑변이 격자선 위에 놓이면 높이는 반대쪽 꼭짓점의 수직 거리 그대로 — 6학년 삼각형 넓이 세팅 그대로입니다.
6.G.A.1 단계 4 - 바람개비의 $4$ 회 회전 대칭에 의해 위·왼쪽·오른쪽 변 삼각형은 모두 아래 삼각형과 합동입니다.
- 따라서 네 삼각형의 넓이 합은 $4 \times 3.75 = 15$.
💡 아래 삼각형을 $90^\circ$ 씩 돌리면 나머지 세 개가 나오므로 넓이가 모두 같습니다.
6.G.A.1 단계 5 전체 격자 넓이에서 색칠되지 않은 영역의 합을 빼면 색칠된 바람개비의 넓이가 나옵니다.
💡 전체에서 측정하기 쉬운 여집합을 빼는 "남은 것 세기" 기본 동작.
5.G.A.1 좌표를 잡습니다. 격자의 왼쪽 아래 꼭짓점을 $(0, 0)$ 에 두면 격자는 $0 \le x \le 5$, $0 \le y \le 5$ 를 덮습 3.MD.C.7 색칠되지 않은 네 모서리 정사각형을 셉니다. 격자의 각 모서리에는 바람개비가 덮지 않는 $1 \times 1$ 정사각형이 하나씩 있고 (예: 왼 6.G.A.1 색칠되지 않은 네 변 삼각형 중 하나의 넓이를 구합니다. 아래 삼각형의 꼭짓점은 $(1, 0)$, $(4, 0)$, 중심 $(2.5, 2.5)$ 6.G.A.1 바람개비의 $4$ 회 회전 대칭에 의해 위·왼쪽·오른쪽 변 삼각형은 모두 아래 삼각형과 합동입니다. 따라서 네 삼각형의 넓이 합은 $4 \tim 6.G.A.1 전체 격자 넓이에서 색칠되지 않은 영역의 합을 빼면 색칠된 바람개비의 넓이가 나옵니다. 검토
합리성 확인: 바람개비는 $5 \times 5$ 격자 안에 들어가 있으니 넓이는 분명히 $25$ 미만이어야 합니다. 날개 하나를 대충 $1 \times 1.5$ 정도의 띠가 중심 쪽에서 좁아진 모양으로 보면, 네 날개를 합쳐도 몇 제곱 단위 정도라 $6$ 근처가 자연스럽습니다. 답이 $6$ 이면 색칠 $6$ + 비색칠 $19 = 25$ 라는 깔끔한 분할도 성립합니다. 다른 선택지들은 여집합이 어색합니다 ($4 \to 21$, $8 \to 17$, $10 \to 15$, $12 \to 13$) — 어느 것도 "정사각형 네 개 + 합동 삼각형 네 개" 라는 단순한 그림으로 떨어지지 않습니다.
대안 접근: 바람개비의 대칭성을 직접 이용합니다. 색칠된 영역은 합동인 네 날개로 이루어져 있고, 각 날개는 중심을 지나는 직선을 따라 합동인 두 삼각형으로 나뉘므로 전체는 합동인 작은 삼각형 $8$ 개입니다. 꼭짓점이 $(2.5, 2.5)$, $(0, 4)$, $(1, 4)$ 인 삼각형 하나를 보면 $(0,4)$ 와 $(1,4)$ 를 잇는 밑변의 길이는 $1$, $(2.5, 2.5)$ 에서 직선 $y = 4$ 까지의 수직 거리는 $4 - 2.5 = 1.5$. 따라서 작은 삼각형 하나의 넓이는 $\tfrac{1}{2} \times 1 \times 1.5 = 0.75$ 이고, $8 \times 0.75 = 6$. 같은 답 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.G.A.1두 수직선(좌표축)을 이용해 좌표계를 정의하기 (격자의 왼쪽 아래 꼭짓점을 $(0,0)$ 에 두어 중심을 $(2.5, 2.5)$ 로 만들고 모든 날개 끝 좌표를 깔끔하게 정하는 데 사용.)3.MD.C.7넓이를 곱셈과 연결 짓고, 변의 길이를 곱하거나 타일링으로 직사각형의 넓이 구하기 (모서리 $1 \times 1$ 정사각형 하나의 넓이를 $1$ 로 계산하고 네 개를 더해 $4$ 를 얻는 데 사용.)6.G.A.1삼각형·사각형·다각형의 넓이를 직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해해서 구하기 (변 삼각형마다 $\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ (밑변 $3$, 높이 $2.5$) 를 적용하고, 색칠되지 않은 영역의 합을 $25$ 에서 빼는 데 사용.)
⭐ 바람개비 자체는 변이 기울어 까다롭지만, 그 둘레의 빈 공간은 단순합니다: 단위 정사각형 네 개와 똑같은 삼각형 네 개. 그 둘을 더해 $25$ 에서 빼면 바람개비 넓이는 $6$ 으로 떨어집니다.
⭐ 바람개비 자체는 변이 기울어 까다롭지만, 그 둘레의 빈 공간은 단순합니다: 단위 정사각형 네 개와 똑같은 삼각형 네 개. 그 둘을 더해 $25$ 에서 빼면 바람개비 넓이는 $6$ 으로 떨어집니다.
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