AMC 8 · 2000 · #7

• 세 수의 곱이 음수가 되는 부호 조합을 나열합니다.
• 음수가 홀수 개일 때만 곱이 음수가 되므로 후보는 음수 $1$ 개 또는 $3$ 개.
• $0$ 을 넣으면 곱이 $0$ 이 되어 어떤 음수보다도 크므로 $0$ 은 제외합니다.

💡 7학년의 곱셈 부호 규칙에 따르면 음수 인수 하나가 부호를 한 번 뒤집습니다. 뒤집기가 홀수 번이면 결과는 음수예요.

• 경우 A — 음수 세 개를 모두 고릅니다.
• 음수가 정확히 세 개뿐이므로 $-8$, $-6$, $-4$ 로 한 가지 방법뿐입니다.
• 음수 두 개를 곱하면 양수, 거기에 음수 하나가 더 곱해지면 다시 음수가 됩니다.

💡 이 경우는 선택의 여지가 없어요 — 음수 세 개가 정해져 있으니 곱은 $-192$ 로 고정됩니다.

• 경우 B — 음수 $1$ 개, 양수 $2$ 개를 고릅니다.
• 곱을 최대한 음수 쪽으로 만들려면 크기(절댓값)를 최대로 키워야 합니다.
• 극단의 원리에 따라 절댓값이 가장 큰 음수와, 가장 큰 양수 두 개를 고릅니다.

💡 각 인수의 크기가 크면 곱의 크기도 큽니다. 부호는 한 음수가 음수로 고정해 두므로, 크기가 커진다는 것은 곧 "더 작은 음수"가 된다는 뜻이에요.

• 경우 B의 곱을 계산하고 경우 A와 비교합니다.
• 경우 B의 최솟값은 $(-8) \times 7 \times 5 = -280$.
• 경우 A의 $-192$ 와 비교하면, 수직선에서 $-280 < -192$ 이므로 경우 B가 더 작습니다.

💡 두 음수를 비교할 때, $0$ 에서 더 멀리 떨어진 쪽이 작은 수입니다. $-280$ 은 $-192$ 보다 수직선의 왼쪽에 있죠.