AMC 8 · 2002 · #1

학년 7 geometry-2dcounting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

spatial-visualizationsystematic-enumerationcombinations-basic identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A circle and two distinct lines are drawn on a sheet of paper. What is the largest possible number of points of intersection of these figures?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 장의 종이에 원 하나와 서로 다른 직선 두 개를 그립니다. 이 세 도형 중 어느 두 도형이라도 서로 만나는 점을 모두 셀 때, 가능한 교점의 최대 개수는 몇 개인가요?

주어진 것: 같은 평면 위에 세 도형: 원 $1$ 개와 서로 다른 직선 $2$ 개; 교점 개수의 최댓값을 구해야 한다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: 교점 개수의 최댓값

이해

주어진 것: 같은 평면 위에 세 도형: 원 $1$ 개와 서로 다른 직선 $2$ 개; 교점 개수의 최댓값을 구해야 한다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #15 그림으로 시각화하기

세 도형은 세 쌍을 만듭니다: 직선-직선 한 쌍, 직선-원 두 쌍. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 쌍씩 따로 다뤄 각 쌍의 최댓값을 구한 뒤 더하면 됩니다. 도구 #15(그림으로 시각화하기)는 마지막에 필요해요. 세 쌍이 동시에 최댓값을 내면서 다섯 점이 모두 서로 다른 한 장의 그림이 실제로 존재하는지 확인해야 비로소 그 합계가 "도달 가능한" 답이 되니까요.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.1 단계 1

쌍 1: 두 직선.
서로 다른 두 직선은 평행해서 만나지 않거나, 정확히 한 점에서 만납니다.
교점을 최대로 하려면 두 직선이 만나도록 둡니다.

$$\text{직선} \cap \text{직선} \le 1 \text{ 점}$$

💡 4학년에서 배우는 점, 직선, 평행/교차 직선: 서로 다른 두 직선은 최대 한 점만 공유합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

쌍 2: 원과 첫 번째 직선.
직선은 원과 만나지 않거나($0$ 점), 접선으로 닿거나($1$ 점), 할선으로 가로지를 수 있습니다($2$ 점).
최대로 하려면 직선이 원의 내부를 가로지르게 합니다.

$$\text{원} \cap \text{직선}_1 \le 2 \text{ 점}$$

💡 7학년 원 단원의 할선 상황 그대로: 현(弦)은 원과 두 끝점에서 만납니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

쌍 3: 원과 두 번째 직선.
같은 상황, 같은 최댓값.

$$\text{원} \cap \text{직선}_2 \le 2 \text{ 점}$$

💡 두 번째 직선은 첫 번째와 독립이므로 똑같이 할선이 되어 추가로 $2$ 점을 만들 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

세 쌍의 최댓값을 모두 더해 전체 교점의 상한을 구합니다.
이 값이 "이론상 가능한 최대"입니다.

$$1 + 2 + 2 = 5$$

💡 4학년 다단계 덧셈: 쌍마다 독립이므로 그냥 쌓아서 더하면 됩니다.

#15 그림으로 시각화하기 4.G.A.1 단계 5

이 상한이 실제로 도달 가능한지 확인합니다.
원 하나를 그리고, 두 직선을 모두 할선으로 그리되 두 직선이 원의 내부에서 서로 교차하도록 그립니다.
두 직선의 교점이 원 안에 $1$ 개, 각 직선이 원과 만나는 점이 각각 $2$ 개씩 총 $4$ 개.
다섯 점이 모두 서로 다르므로 최댓값이 실제로 달성됩니다.

$$\text{도달 가능한 합계} = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 4학년 "그리고 식별하기" 활동 그대로: 간단한 스케치 한 장으로 다섯 점이 모두 다르다는 것을 확인하면 상한 $5$ 가 실제로 이루어집니다.

[1] #7 4.G.A.1 쌍 1: 두 직선. 서로 다른 두 직선은 평행해서 만나지 않거나, 정확히 한 점에서 만납니다. 교점을 최대로 하려면 두 직선이 만나도록 둡니다.

[2] #7 7.G.B.4 쌍 2: 원과 첫 번째 직선. 직선은 원과 만나지 않거나($0$ 점), 접선으로 닿거나($1$ 점), 할선으로 가로지를 수 있습니다($2$ 점)

[3] #7 7.G.B.4 쌍 3: 원과 두 번째 직선. 같은 상황, 같은 최댓값.

[4] #7 4.OA.A.3 세 쌍의 최댓값을 모두 더해 전체 교점의 상한을 구합니다. 이 값이 "이론상 가능한 최대"입니다.

[5] #15 4.G.A.1 이 상한이 실제로 도달 가능한지 확인합니다. 원 하나를 그리고, 두 직선을 모두 할선으로 그리되 두 직선이 원의 내부에서 서로 교차하도록 그립니

검토

합리성 확인: 교차 검증: 세 도형이면 $\binom{3}{2} = 3$ 쌍이 생기고, 쌍별 최대는 $1, 2, 2$. 합 $5$ 는 (D) 와 일치합니다. 더 큰 값은 불가능합니다. 어느 직선-원 쌍에서 $3$ 점이 되려면 직선이 원과 세 점에서 만나야 하지만 그런 직선은 없고, 직선-직선 쌍에서 $2$ 점이 되려면 두 직선이 같은 직선이어야 해서 "서로 다른" 조건에 어긋납니다. 따라서 $5$ 는 상한이자 실제로 도달 가능한 답입니다.

대안 접근: 도구 #13(전략적으로 세기): $\binom{3}{2}=3$ 쌍을 미리 정해 두고 쌍별 상한을 바로 적용합니다. 직선-직선 상한 $1$, 직선-원 상한 $2$. $1 + 2 + 2 = 5$ 를 얻은 뒤, 이 상한을 실현하는 그림 한 장을 그려 확인. 답은 같은 (D), 다만 쌍을 먼저 "세고" 들어간다는 점이 다릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.G.A.1 점, 직선, 선분, 반직선, 각, 수직선과 평행선을 그리고, 이를 평면도형에서 식별하기 (서로 다른 두 직선이 최대 한 점에서 만난다는 사실과, 다섯 개의 서로 다른 교점을 실현하는 그림을 스케치하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 활용하기, 둘레와 넓이의 관계를 비형식적으로 유도하기 (원과 할선을 다루는 부분 — 직선과 원의 교점 수가 최대 $2$ 라는 사실은 7학년 원 단원의 사고에서 옵니다.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 자연수 다단계 문장제를 자연수 답으로 풀기 (세 쌍의 최댓값 $1 + 2 + 2 = 5$ 를 더해 전체 상한을 구하는 데 사용.)

⭐ 세 도형이면 쌍이 세 개. 쌍마다 가능한 최대 교점을 구하고, 한 그림에서 그 최대가 모두 동시에 이루어지는지 확인하기 — 이 확인 단계 덕분에 $5$ 는 단순한 추측이 아니라 진짜 답이 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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