AMC 8 · 2007 · #8

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형

문제

In trapezoid $ABCD$ , $\overline{AD}$ is perpendicular to $\overline{DC}$ ,
$AD = AB = 3$ , and $DC = 6$ . In addition, $E$ is on $\overline{DC}$ , and $\overline{BE}$ is parallel to $\overline{AD}$ . Find the area of $\triangle BEC$ .

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

4.5

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 $\overline{AD} \perp \overline{DC}$ 이고 $AD = AB = 3$, $DC = 6$ 입니다. 점 $E$ 는 $\overline{DC}$ 위에 있고 $\overline{BE} \parallel \overline{AD}$ 입니다. $\triangle BEC$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $\overline{AD} \perp \overline{DC}$, 즉 $\angle ADC = 90^\circ$; $AD = AB = 3$; $DC = 6$; $E$ 는 $\overline{DC}$ 위에 있고 $\overline{BE} \parallel \overline{AD}$; 선택지: (A) $3$, (B) $4.5$, (C) $6$, (D) $9$, (E) $18$

구하는 것: $\triangle BEC$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다. 그림에 표시를 더해 보면 $\overline{AD} \perp \overline{DC}$ 이고 $\overline{BE} \parallel \overline{AD}$ 이므로, 사각형 $ABED$ 는 두 쌍의 마주보는 변이 평행하고 한 각이 직각인 도형, 즉 직사각형이 됩니다. 더구나 $AD = AB = 3$ 이므로 $ABED$ 는 한 변이 $3$ 인 정사각형이에요. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사다리꼴을 정사각형 $ABED$ 와 직각삼각형 $BEC$ 로 나누면, 삼각형의 두 변($BE$ 와 $EC$) 길이가 그림에서 그대로 읽힙니다. 대수는 필요 없어요.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 5.G.B.3 단계 1

그림에 표시를 더합니다.
$D$ 에 직각 표시($\angle ADC = 90^\circ$)를 하고, $\overline{AD}$ 와 $\overline{BE}$ 에 평행 표시를 합니다.
사각형 $ABED$ 는 $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$ (둘 다 가로)이고 $\overline{AD} \parallel \overline{BE}$ (둘 다 세로)이므로 평행사변형, 거기에 직각이 있으니 직사각형, 그리고 $AD = AB = 3$ 이니 정사각형이 됩니다.

$$ABED \text{ 는 한 변이 } 3 \text{ 인 정사각형}$$

💡 5학년 수준에서 도형을 속성으로 분류하기: 평행 두 쌍 + 직각 + 이웃 변 길이 같음 $\Rightarrow$ 정사각형.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 2

그림에서 삼각형의 두 변 길이를 읽습니다.
$ABED$ 가 정사각형이므로 $BE = 3$, $DE = 3$ 입니다.
점 $E$ 는 $\overline{DC}$ 위에 있으므로 $\overline{EC}$ 는 $\overline{DC}$ 에서 $\overline{DE}$ 를 뺀 나머지입니다.

$$EC = DC - DE = 6 - 3 = 3$$

💡 사다리꼴을 "정사각형 부분" $+$ "삼각형 부분" 으로 쪼개는 것이 작은 문제로 쪼개기. 삼각형의 밑변은 정사각형이 덮지 않은 나머지입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

$\overline{BE} \parallel \overline{AD} \perp \overline{DC}$ 이므로 $\triangle BEC$ 는 $E$ 에서 직각인 직각삼각형입니다.
두 변이 $BE = 3$, $EC = 3$ 이므로 직각삼각형 넓이 공식을 적용합니다.

$$[\triangle BEC] = \tfrac{1}{2} \cdot BE \cdot EC = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \tfrac{9}{2} = 4.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 두 변 길이만 알면 6학년 넓이 공식으로 한 줄에 정리됩니다.

[1] #1 5.G.B.3 그림에 표시를 더합니다. $D$ 에 직각 표시($\angle ADC = 90^\circ$)를 하고, $\overline{AD}$ 와 $\over

[2] #7 4.MD.A.3 그림에서 삼각형의 두 변 길이를 읽습니다. $ABED$ 가 정사각형이므로 $BE = 3$, $DE = 3$ 입니다. 점 $E$ 는 $\overl

[3] #7 6.G.A.1 $\overline{BE} \parallel \overline{AD} \perp \overline{DC}$ 이므로 $\triangle BEC$

검토

합리성 확인: 사다리꼴 넓이를 두 가지 방법으로 검산합니다. 공식: $[ABCD] = \tfrac{1}{2}(AB + DC) \cdot AD = \tfrac{1}{2}(3 + 6) \cdot 3 = \tfrac{27}{2} = 13.5$. 분할: $[\text{정사각형 } ABED] + [\triangle BEC] = 9 + 4.5 = 13.5$. 두 값이 일치하므로 $\triangle BEC$ 의 넓이 $4.5$ 가 맞습니다. 또한 $\triangle BEC$ 는 사다리꼴의 한 모서리 조각일 뿐이므로 (E) $18$ 처럼 사다리꼴 전체보다 큰 값은 불가능 — $4.5$ 는 자연스럽게 사다리꼴 안에 들어옵니다.

대안 접근: 도구 #16(좌표 사용하기): $D$ 를 원점에 두고 $\overline{DC}$ 를 $x$ 축에 놓으면 $D=(0,0)$, $C=(6,0)$, $A=(0,3)$, $B=(3,3)$, $E=(3,0)$ 입니다. 꼭짓점 $B=(3,3)$, $E=(3,0)$, $C=(6,0)$ 인 삼각형은 가로 변 $EC = 3$, 세로 변 $BE = 3$ 이므로 넓이 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.B.3 한 범주의 평면도형 속성은 그 하위 범주에도 모두 적용됨을 이해하기 (평행 변, 직각, 이웃 변 길이를 확인해 $ABED$ 를 정사각형으로 분류하는 데 사용.)
4.MD.A.3 직사각형의 넓이와 둘레 공식을 적용하고, 미지의 변 길이를 구하기 (선분 $\overline{DC}$ 위에서 $DC = DE + EC$ 를 이용해 $EC = 6 - 3 = 3$ 을 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 직각삼각형과 다른 삼각형의 넓이를 직사각형 등으로 분할·합성하여 구하기 (사다리꼴을 정사각형과 직각삼각형으로 분할하고 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 공식을 $\triangle BEC$ 에 적용하는 데 사용.)

⭐ 사다리꼴의 한 변이 기울어져 있을 때는 윗 꼭짓점에서 수선을 내려 봅니다. 사다리꼴이 직사각형(또는 정사각형)과 직각삼각형으로 쪼개지면, 삼각형의 두 변 길이가 그림에서 곧바로 읽힙니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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