AMC 8 · 2008 · #16

학년 6 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

volume-rectangular-prismsurface-areaspatial-visualizationratio-proportion systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prismsurface-area

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

A shape is created by joining seven unit cubes, as shown. What is the ratio of the volume in cubic units to the surface area in square units?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

:1 : 6

(B)

: 7 : 36

(C)

: 1 : 5

(D)

: 7 : 30

(E)

: 6 : 25

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 단위 정육면체 $7$ 개를 붙여 만든 모양입니다. 가운데 정육면체 한 개의 여섯 면(위·아래·왼쪽·오른쪽·앞·뒤)에 각각 하나씩 정육면체가 붙어 있습니다. 부피(세제곱 단위)와 겉넓이(제곱 단위)의 비를 구하세요.

주어진 것: 정확히 $7$ 개의 단위 정육면체가 사용된다; 단위 정육면체 하나의 부피는 $1$, 단위 정사각형 면 $6$ 개의 넓이는 각각 $1$; 그림에서 한 개가 중앙에 있고, 나머지 $6$ 개는 그 중앙 정육면체의 각 면에 하나씩 붙어 있다; 선택지: (A) $1:6$, (B) $7:36$, (C) $1:5$, (D) $7:30$, (E) $6:25$

구하는 것: (부피) $:$ (겉넓이)

이해

계획

주요 도구: #13 체계적으로 세기

보조 도구: #7 작은 문제로 나누기, #15 시각화 · 대칭 이용

도구 #7(작은 문제로 나누기)로 비를 두 개의 깔끔한 세기 문제로 쪼개요 — 부피 먼저, 그다음 겉넓이. 부피는 정육면체 개수 그대로입니다. 겉넓이는 도구 #13(체계적으로 세기)로 $7$ 개의 정육면체 각각에 대해 "여섯 면 중 몇 개가 바깥으로 드러났는가?"를 묻습니다. 도구 #15(시각화 · 대칭 이용)를 더하면 셈이 거의 자동으로 끝나요 — 중앙 정육면체는 여섯 면 모두 가려지고, 대칭에 의해 바깥쪽 여섯 개는 모두 똑같은 상황입니다 — 붙은 면 $1$, 드러난 면 $5$.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 나누기 5.MD.C.3 단계 1

부피부터.
단위 정육면체 하나의 부피는 $1$ 이고 $7$ 개가 있으므로 전체 부피는 $7$ 세제곱 단위입니다.

$$V = 7 \times 1 = 7$$

💡 $5$ 학년에서 부피는 단위 정육면체의 개수로 정의됩니다 — 지금 상황 그대로예요.

#13 체계적으로 세기 6.G.A.4 단계 2

겉넓이를 셉니다.
정육면체들이 떨어져 있었다면 면의 총수는 $7 \times 6 = 42$.
이 모양에는 $6$ 개의 "붙은 자리"가 있고(바깥 정육면체 하나당 중앙 정육면체와 한 면씩 공유), 자리 하나마다 단위 정사각형 $2$ 개가 바깥에서 사라집니다(중앙 쪽 면 하나 + 이웃 쪽 면 하나).

$$\text{바깥 면 수} = 7 \times 6 - 2 \times 6 = 42 - 12 = 30$$

💡 $6$ 학년 겉넓이 풀이의 표준 흐름: 모든 면에서 시작해 맞붙은 면을 빼는 방식.

#15 시각화 · 대칭 이용 6.G.A.4 단계 3

대칭으로 다시 확인합니다.
중앙 정육면체는 여섯 면 모두 이웃과 붙어 있으므로 겉면에 $0$ 을 기여합니다.
바깥쪽 $6$ 개 정육면체는 각각 정확히 $1$ 면이 붙어 있고 나머지 $5$ 면이 드러나므로 각각 $5$ 를 기여합니다.

$$S = 0 + 6 \times 5 = 30$$

💡 대칭: 바깥쪽 여섯 개는 서로 똑같은 위치이므로 하나만 세어도 충분합니다.

#7 작은 문제로 나누기 6.RP.A.1 단계 4

비를 만듭니다.
부피와 겉넓이의 비는 $7$ 대 $30$.
$\gcd(7, 30) = 1$ 이므로 $\dfrac{7}{30}$ 은 이미 기약 분수이고, 비도 더 줄어들지 않습니다.

$$V : S = 7 : 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $6$ 학년 비 표현: 두 총량을 짝지어 $a : b$ 로 적습니다.

[1] #7 5.MD.C.3 부피부터. 단위 정육면체 하나의 부피는 $1$ 이고 $7$ 개가 있으므로 전체 부피는 $7$ 세제곱 단위입니다.

[2] #13 6.G.A.4 겉넓이를 셉니다. 정육면체들이 떨어져 있었다면 면의 총수는 $7 \times 6 = 42$. 이 모양에는 $6$ 개의 "붙은 자리"가 있고(바깥

[3] #15 6.G.A.4 대칭으로 다시 확인합니다. 중앙 정육면체는 여섯 면 모두 이웃과 붙어 있으므로 겉면에 $0$ 을 기여합니다. 바깥쪽 $6$ 개 정육면체는 각각

[4] #7 6.RP.A.1 비를 만듭니다. 부피와 겉넓이의 비는 $7$ 대 $30$. $\gcd(7, 30) = 1$ 이므로 $\dfrac{7}{30}$ 은 이미 기약 분

검토

합리성 확인: 정육면체 한 개로 검산해 봅시다. 부피 $1$, 겉넓이 $6$, 비 $1:6$ — 선택지 (A). 두 개를 붙이면 부피는 $2$ 로 늘지만 겉면은 $6 + 6 - 2 = 10$ 만큼만 드러나서 비가 커집니다. 새 정육면체를 하나 붙일 때마다 부피는 $+1$, 겉넓이는 $+4$ ($5$ 면이 새로 드러나고 $1$ 면이 가려짐). $1:6$ 에서 시작해 같은 방식으로 $6$ 개를 더 붙이면 부피 $1 + 6 = 7$, 겉넓이 $6 + 6 \times 4 = 30$ 으로 (D) 와 정확히 맞습니다. (A) $1:6$ 과 (B) $7:36$ 은 맞붙은 면이 가려진다는 사실을 잊은 답이고, (C) $1:5$ 는 정육면체 한 개에서 한 면만 가린 값이지 이 모양의 답이 아닙니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기 · 좌표 사용): 중앙 정육면체를 원점에 두고 이웃을 $(\pm 1, 0, 0)$, $(0, \pm 1, 0)$, $(0, 0, \pm 1)$ 에 놓습니다. 각 단위 정사각형 면에 대해 "맞은편 자리에도 정육면체가 있는가?"를 묻습니다. 있으면 "안쪽", 없으면 "바깥". 안쪽 짝은 각 좌표축 방향마다 하나씩, 총 $6$ 쌍. 따라서 바깥 면은 $42 - 12 = 30$ 개로 같은 답 (D) $7 : 30$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.MD.C.3 입체도형의 속성으로서 부피를 인식하고 부피 측정 개념 이해 (단위 정육면체 $7$ 개를 세어 전체 부피 $7$ 세제곱 단위를 얻는 데 사용.)
6.G.A.4 직사각형과 삼각형으로 이루어진 전개도로 입체도형을 나타내고 전개도를 이용해 겉넓이 구하기 ($7$ 개 정육면체로 이루어진 모양에서 바깥으로 드러난 단위 정사각형 면을 세어 겉넓이 $30$ 제곱 단위를 얻는 데 사용.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 (부피와 겉넓이를 짝지어 $7 : 30$ 의 비로 표현하는 데 사용.)

⭐ 부피는 정육면체 개수, 겉넓이는 드러난 면 개수 — 두 정육면체가 맞붙으면 단위 정사각형 정확히 $2$ 개가 가려진다는 점만 알면, 3차원 AMC 8 문제도 깔끔한 $6$ 학년 비 문제가 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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