AMC 8 · 2008 · #23

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectanglescoordinate-geometryfraction-arithmetic area-differenceidentify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-trianglesarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

In square $ABCE$ , $AF=2FE$ and $CD=2DE$ . What is the ratio of the area of $\triangle BFD$ to the area of square $ABCE$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{2}{9}$

(C)

$\frac{5}{18}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{7}{20}$

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 $ABCE$ 에서 변 $AE$ 위의 점 $F$ 는 $AF = 2 \cdot FE$ 를 만족하고, 변 $CE$ 위의 점 $D$ 는 $CD = 2 \cdot DE$ 를 만족합니다. $\triangle BFD$ 의 넓이와 정사각형 $ABCE$ 의 넓이의 비를 구하세요.

주어진 것: $ABCE$ 는 정사각형 (꼭짓점 순서: $A$ 좌상단, $B$ 우상단, $C$ 우하단, $E$ 좌하단); 변 $AE$ 위의 점 $F$ 는 $AF = 2 \cdot FE$; 변 $CE$ 위의 점 $D$ 는 $CD = 2 \cdot DE$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{6}$, (B) $\tfrac{2}{9}$, (C) $\tfrac{5}{18}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{7}{20}$

구하는 것: 비율 $\dfrac{[\triangle BFD]}{[ABCE]}$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 표현 바꾸기, #7 작은 문제로 나누기

도구 #1(그림 그리기)이 첫걸음입니다. 정사각형을 좌표평면 위에 올리면 모든 점의 위치가 한 번에 정해져요. 도구 #16(표현 바꾸기)으로 한 변의 길이를 우리가 고를 수 있는데, $s=3$ 으로 잡으면 $2{:}1$ 비율이 정수 길이로 깔끔하게 떨어져 마지막 단계까지 분수가 안 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)은 $\triangle BFD$ 의 넓이를 직접 구하는 대신, 정사각형을 $\triangle BFD$ 와 세 개의 모서리 직각삼각형으로 쪼개서 쉬운 세 조각의 넓이를 빼는 방식으로 해결하게 해 줍니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

정사각형을 좌표평면에 한 변 $s=3$ 으로 놓습니다.
$E$ 를 원점에 두면 정사각형이 제$1$사분면에 들어와서 $E(0,0)$, $C(3,0)$, $B(3,3)$, $A(0,3)$.
정사각형 $ABCE$ 의 넓이는 $s^2 = 9$.

$$E=(0,0),\; C=(3,0),\; B=(3,3),\; A=(0,3),\; [ABCE]=9$$

💡 6학년 "좌표평면 위 다각형": 좌표만 정하면 모든 변의 길이가 단위칸 수로 바로 읽힙니다.

#16 표현 바꾸기 6.RP.A.3 단계 2

$2{:}1$ 비율로 $F$ 와 $D$ 의 위치를 찾습니다.
변 $AE$ 의 길이는 $3$ 이고 $AF = 2 \cdot FE$ 이므로 $AE$ 가 세 등분되어 $FE = 1$, $AF = 2$.
따라서 $F$ 는 $y$ 축 위에서 $E$ 보다 $1$ 칸 위.
변 $CE$ 도 같은 방식으로 $CD = 2 \cdot DE$ 에서 $DE = 1$, $CD = 2$, 그래서 $D$ 는 $x$ 축 위에서 $E$ 보다 $1$ 칸 오른쪽.

$FE = 1,\; AF = 2 \;\Rightarrow\; F=(0,1)$; $\;\; DE = 1,\; CD = 2 \;\Rightarrow\; D=(1,0)$

💡 길이가 $2{:}1$ 로 나뉘면 "$1$" 짜리 한 조각은 전체의 $\tfrac{1}{3}$. 한 변을 $3$ 으로 잡았으니 그 조각이 정확히 정수 $1$ 이 됩니다.

#7 작은 문제로 나누기 6.G.A.1 단계 3

정사각형을 $\triangle BFD$ 와 꼭짓점 $A$, $C$, $E$ 에 놓인 세 개의 직각삼각형으로 쪼갭니다.
정사각형 안쪽은 정확히 이 네 삼각형으로 빈틈없이 채워져요 (선분 $BF$, $BD$, $FD$ 가 경계).
따라서 $[\triangle BFD] = [ABCE] - [\triangle ABF] - [\triangle BCD] - [\triangle FED]$.

$$[ABCE] = [\triangle ABF] + [\triangle BCD] + [\triangle FED] + [\triangle BFD]$$

💡 6학년 "다각형 합치고 쪼개기": 가운데 삼각형은 정사각형에서 모서리 조각 셋을 뺀 "나머지" 입니다.

#7 작은 문제로 나누기 6.G.A.1 단계 4

세 모서리 직각삼각형의 넓이를 차례로 구합니다.
모두 직각이 정사각형의 꼭짓점에 있고 두 변이 정사각형의 변에 놓여 있어요.
$\triangle ABF$ 의 두 변은 $AB = 3$ (윗변)과 $AF = 2$ (왼쪽 변의 위쪽).
$\triangle BCD$ 의 두 변은 $BC = 3$ (오른쪽 변)과 $CD = 2$ (밑변의 오른쪽).
$\triangle FED$ 의 두 변은 꼭짓점 $E$ 에서 $FE = 1$, $ED = 1$.

$$[\triangle ABF] = \tfrac{1}{2}(3)(2) = 3,\; [\triangle BCD] = \tfrac{1}{2}(3)(2) = 3,\; [\triangle FED] = \tfrac{1}{2}(1)(1) = \tfrac{1}{2}$$

💡 직각삼각형 넓이 $= \tfrac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$ — 직사각형의 절반이라는 6학년 규칙 그대로.

#7 작은 문제로 나누기 6.RP.A.1 단계 5

빼서 $\triangle BFD$ 의 넓이를 구한 뒤 정사각형 넓이로 나눠 비를 만듭니다.
$9 = \tfrac{18}{2}$ 로 쓰면 분모가 맞춰져서 깔끔해져요.

$[\triangle BFD] = 9 - 3 - 3 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}$; $\;\; \dfrac{[\triangle BFD]}{[ABCE]} = \dfrac{5/2}{9} = \dfrac{5}{18} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$

💡 분수꼴 넓이를 정수 넓이로 나누는 건 6학년 비율. 분자·분모에 $2$ 를 곱해 안쪽 $\tfrac{1}{2}$ 를 없애면 $\tfrac{5}{18}$ 가 바로 보입니다.

[1] #1 6.G.A.3 정사각형을 좌표평면에 한 변 $s=3$ 으로 놓습니다. $E$ 를 원점에 두면 정사각형이 제$1$사분면에 들어와서 $E(0,0)$, $C(3,0

[2] #16 6.RP.A.3 $2{:}1$ 비율로 $F$ 와 $D$ 의 위치를 찾습니다. 변 $AE$ 의 길이는 $3$ 이고 $AF = 2 \cdot FE$ 이므로 $AE$

[3] #7 6.G.A.1 정사각형을 $\triangle BFD$ 와 꼭짓점 $A$, $C$, $E$ 에 놓인 세 개의 직각삼각형으로 쪼갭니다. 정사각형 안쪽은 정확히 이

[4] #7 6.G.A.1 세 모서리 직각삼각형의 넓이를 차례로 구합니다. 모두 직각이 정사각형의 꼭짓점에 있고 두 변이 정사각형의 변에 놓여 있어요. $\triangle

[5] #7 6.RP.A.1 빼서 $\triangle BFD$ 의 넓이를 구한 뒤 정사각형 넓이로 나눠 비를 만듭니다. $9 = \tfrac{18}{2}$ 로 쓰면 분모가

검토

합리성 확인: 크기 감으로 확인해 봅시다. 세 모서리 삼각형 넓이의 합은 $3 + 3 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{13}{2}$ 로 정사각형 넓이 $9$ 의 절반보다 조금 크고, 그러면 $\triangle BFD$ 는 $\tfrac{5}{2}$ 로 정사각형의 반보다 살짝 작습니다. 비율 $\tfrac{5}{18} \approx 0.278$ 이 딱 "$4$ 분의 $1$ 보다 약간 크다" 이고요. 선택지 중 $\tfrac{1}{6}\approx 0.17$ 은 너무 작고 $\tfrac{1}{3}\approx 0.33$ 은 너무 크니까, 그 사이에 들어가는 답은 $\tfrac{5}{18}$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #3(좌표 활용 / 신발끈 공식): $B=(3,3)$, $F=(0,1)$, $D=(1,0)$ 으로 신발끈 공식을 쓰면 $[\triangle BFD] = \tfrac{1}{2}\,|3(1-0) + 0(0-3) + 1(3-1)| = \tfrac{1}{2}\,|3 + 0 + 2| = \tfrac{5}{2}$. 다시 $9$ 로 나누면 $\tfrac{5}{18}$, 같은 (C) 가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.3 주어진 꼭짓점 좌표로 좌표평면에 다각형을 그리고 좌표로 변의 길이 구하기 (정사각형 $ABCE$ 를 $E$ 가 원점인 좌표평면에 놓고, $2{:}1$ 비율에서 $F=(0,1)$, $D=(1,0)$ 을 바로 읽어내는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (정사각형의 한 변을 $3$ 으로 잡은 뒤 두 변 위의 $2{:}1$ 비율을 정수 길이로 바꾸는 데 사용.)
6.G.A.1 직각삼각형과 다각형의 넓이를 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 쪼개 구하기 (정사각형 $ABCE$ 를 $\triangle BFD$ 와 세 모서리 직각삼각형으로 쪼개고, 각 모서리 넓이를 $\tfrac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$ 로 계산하는 데 사용.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 (최종 넓이의 비 $\dfrac{5/2}{9} = \dfrac{5}{18}$ 을 만들고 약분하는 데 사용.)

⭐ 정사각형을 모눈종이에 한 변 $3$ 으로 올리고, 모서리 직각삼각형 셋을 잘라내면 남는 것이 $\triangle BFD$ — 까다로워 보이는 비율 문제도 6학년 "넓이 쪼개기" 한 줄로 풀립니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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