AMC 8 · 2010 · #17

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-rectanglesarea-trianglescoordinate-geometryratio-proportion area-differenceidentify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

그림은 단위 정사각형 $10$ 개로 이루어진 팔각형을 보여 줍니다. 선분 $\overline{PQ}$ 아래 영역은 단위 정사각형 하나와 밑변이 $5$ 인 삼각형 하나로 이루어집니다. 선분 $\overline{PQ}$ 가 팔각형의 넓이를 둘로 똑같이 나눌 때, $\dfrac{XQ}{QY}$ 의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{5}$

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$\frac{3}{5}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 팔각형은 단위 정사각형 $10$ 개로 이루어져 있어서 전체 넓이는 $10$ 입니다. 선분 $\overline{PQ}$ 가 팔각형의 넓이를 둘로 똑같이 나눕니다. $\overline{PQ}$ 아래 영역은 "단위 정사각형 하나 $+$ 밑변이 $5$ 인 삼각형" 으로 주어져 있습니다. 점 $Q$ 는 세로 선분 $\overline{XY}$ 위에 있고, $X=(5,2)$, $Y=(5,1)$ 입니다. 비율 $\dfrac{XQ}{QY}$ 를 구하세요.

주어진 것: 팔각형의 넓이 $= 10$ (단위 정사각형 $10$ 개); $\overline{PQ}$ 가 팔각형의 넓이를 이등분; $\overline{PQ}$ 아래 영역 $=$ 단위 정사각형 $1$ 개 $+$ 밑변 $5$ 인 삼각형 $1$ 개; $X=(5,2)$, $Y=(5,1)$, $Q$ 는 $\overline{XY}$ 위의 점; 선택지: (A) $\tfrac{2}{5}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{3}{5}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$

구하는 것: 비율 $\dfrac{XQ}{QY}$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

문제 자체가 아래쪽 영역을 "단위 정사각형 $+$ 밑변 $5$ 인 삼각형" 으로 깔끔하게 쪼개 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "아래쪽 영역 넓이 $=$ 정사각형 넓이 $+$ 삼각형 넓이" 라고 쓰면, 삼각형의 높이 — 곧 $Q$ 의 y 좌표 — 만 구하면 끝납니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 보조 도구입니다. $X=(5,2)$, $Y=(5,1)$, $Q=(5,h)$ 를 그림 위에 찍어 두면 $XQ = 2-h$, $QY = h-1$ 이 한눈에 보이고, 마지막 비율은 두 번의 뺄셈으로 끝납니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 1

$\overline{PQ}$ 의 양쪽 영역이 가져야 할 넓이를 구합니다.
팔각형은 단위 정사각형 $10$ 개로 만들어져 있으므로 전체 넓이는 $10$ 이고, 이등분하면 한쪽이 $5$ 입니다.

$$\overline{PQ} \text{ 아래 영역 넓이} = \dfrac{10}{2} = 5$$

💡 단위 정사각형을 세어 넓이를 구하고 반으로 나누는 것은 3학년 넓이 개념입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

주어진 분해를 그대로 씁니다.
$\overline{PQ}$ 아래 영역은 "단위 정사각형(넓이 $1$) $+$ 밑변 $5$, 높이 $h$ 인 삼각형" 이므로, 둘의 합을 $5$ 와 같다고 놓습니다.

$$1 + \tfrac{1}{2}(5)(h) = 5$$

💡 복합 도형을 정사각형 $+$ 삼각형으로 쪼개 넓이를 더하는 것은 6학년 다각형 넓이의 표준 전략입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 3

삼각형의 높이 $h$ 에 대한 식을 풉니다.
양변에서 $1$ 을 빼고 $\tfrac{5}{2}$ 로 나눕니다.

$$\tfrac{5}{2}h = 4 \;\Rightarrow\; h = \tfrac{8}{5}$$

💡 $ax = b$ 꼴의 한 단계 방정식을 푸는 것은 6학년 방정식 표준입니다.

#1 그림 그리기 5.NF.A.1 단계 4

$Q$ 를 $\overline{XY}$ 위에 표시합니다.
$X=(5,2)$ 와 $Y=(5,1)$ 은 x 좌표가 $5$ 로 같으므로, 같은 세로선 위에 있는 $Q$ 의 좌표는 $(5, h) = (5, \tfrac{8}{5})$ 입니다.
$XQ$ 와 $QY$ 의 길이는 y 좌표의 차이로 바로 구할 수 있습니다.

$$XQ = 2 - \tfrac{8}{5} = \tfrac{2}{5},\quad QY = \tfrac{8}{5} - 1 = \tfrac{3}{5}$$

💡 분모를 통일해 분수를 빼서 세로 거리를 구하는 것은 5학년 분수 계산입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 5

원하는 비율을 만듭니다.
두 길이의 분모가 같아서 분자끼리의 비로 간단히 정리됩니다.

$$\dfrac{XQ}{QY} = \dfrac{2/5}{3/5} = \dfrac{2}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 두 길이의 비를 쓰는 것은 6학년 비율 추론의 기본 동작입니다.

[1] #7 3.MD.C.7 $\overline{PQ}$ 의 양쪽 영역이 가져야 할 넓이를 구합니다. 팔각형은 단위 정사각형 $10$ 개로 만들어져 있으므로 전체 넓이는 $

[2] #7 6.G.A.1 주어진 분해를 그대로 씁니다. $\overline{PQ}$ 아래 영역은 "단위 정사각형(넓이 $1$) $+$ 밑변 $5$, 높이 $h$ 인 삼각

[3] #7 6.EE.B.7 삼각형의 높이 $h$ 에 대한 식을 풉니다. 양변에서 $1$ 을 빼고 $\tfrac{5}{2}$ 로 나눕니다.

[4] #1 5.NF.A.1 $Q$ 를 $\overline{XY}$ 위에 표시합니다. $X=(5,2)$ 와 $Y=(5,1)$ 은 x 좌표가 $5$ 로 같으므로, 같은 세로선

[5] #7 6.RP.A.1 원하는 비율을 만듭니다. 두 길이의 분모가 같아서 분자끼리의 비로 간단히 정리됩니다.

검토

합리성 확인: 높이 $h = \tfrac{8}{5} = 1.6$ 은 $1$ 과 $2$ 사이에 있어서 $Q$ 가 $\overline{XY}$ 위에 잘 놓입니다. 넓이도 확인해 보면 정사각형 $1$ $+$ 삼각형 $\tfrac{1}{2}(5)(1.6) = 4$ 의 합이 $5$ 로, 전체 $10$ 의 절반과 정확히 일치합니다. 마지막으로 $XQ + QY = \tfrac{2}{5} + \tfrac{3}{5} = 1$ 인데, 이것은 $y=1$ 부터 $y=2$ 까지인 $\overline{XY}$ 의 길이와 같습니다. 세 가지 검증이 모두 통과하고, 답 (D) $\tfrac{2}{3}$ 도 선택지 안에 있습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 풀 수도 있습니다. $\dfrac{XQ}{QY}$ 와 $XQ + QY = 1$ 이 같이 정해지면 각 선택지마다 $XQ$ 가 하나로 정해집니다 — (A) $\tfrac{2}{5} \to XQ = \tfrac{2}{7}$, (B) $\tfrac{1}{2} \to XQ = \tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{3}{5} \to XQ = \tfrac{3}{8}$, (D) $\tfrac{2}{3} \to XQ = \tfrac{2}{5}$, (E) $\tfrac{3}{4} \to XQ = \tfrac{3}{7}$. 삼각형 높이 계산 $h = \tfrac{8}{5}$ 가 주는 $XQ = \tfrac{2}{5}$ 와 깔끔하게 맞아떨어지는 것은 (D) 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈과 연결하기 (팔각형 넓이를 단위 정사각형 $10$ 개로 읽고, 이등분해 $\overline{PQ}$ 양쪽 넓이를 각각 $5$ 로 구하는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($2 - \tfrac{8}{5} = \tfrac{2}{5}$ 와 $\tfrac{8}{5} - 1 = \tfrac{3}{5}$ 의 분수 뺄셈으로 $XQ$, $QY$ 의 세로 길이를 계산.)
6.G.A.1 다각형의 넓이를 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 쪼개 구하기 ($\overline{PQ}$ 아래 영역을 "단위 정사각형 $+$ 밑변 $5$ 인 삼각형" 으로 보고 넓이를 $1 + \tfrac{1}{2}(5)(h)$ 로 쓰는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x+p=q$, $px=q$ 꼴의 방정식 세우고 풀기 ($1 + \tfrac{5}{2}h = 5$ 를 풀어 $Q$ 의 y 좌표 $h = \tfrac{8}{5}$ 를 구하는 데 사용.)
6.RP.A.1 비(ratio) 의 개념을 이해하고 비율 언어 사용 (최종 비율 $\dfrac{XQ}{QY} = \dfrac{2/5}{3/5} = \dfrac{2}{3}$ 을 구성.)

⭐ 아래쪽 영역을 "정사각형 $+$ 삼각형" 으로 쪼개고 나면, 이 AMC 8 문제는 이미 알고 있는 6학년 넓이·비율 개념만으로 풀 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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