AMC 8 · 2011 · #3

• 도형을 동심 정사각형으로 그리거나 떠올립니다.
• 중심에서 바깥으로: $1 \times 1$ 흰 중심 → 거기서 $3 \times 3$ 까지 채우는 검은 띠 → 다시 $5 \times 5$ 까지 채우는 흰 띠.
• 주어진 개수와 맞춰 봅니다 — 검은 타일 $= 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$, 흰 타일 $= 1 + (5^2 - 3^2) = 1 + 16 = 17$.
• 그림과 문제가 일치합니다.

💡 정사각형 띠의 타일 수를 "바깥 정사각형 넓이 $-$ 안쪽 정사각형 넓이" 로 구하는 것은 3학년 "넓이는 곱셈" 그대로입니다.

• 새 정사각형의 한 변 길이를 구합니다.
• 타일 한 겹의 테두리는 왼쪽 $1$ 줄과 오른쪽 $1$ 줄(위·아래도 똑같이) 을 더하므로 변의 길이가 $2$ 만큼 늘어납니다.
• 새 도형은 $7 \times 7$ 정사각형이고, 전체 타일 수는 $7^2 = 49$ 개입니다.

💡 정사각형에 한 겹의 테두리를 두르면 변 길이가 항상 $2$ 만큼 늘어난다 — 한 번 그려 두면 잊히지 않는 관찰입니다.

• "새 테두리에만 들어 있는 타일 수" 라는 작은 문제로 새 검은 타일을 셉니다.
• 이 테두리는 $7 \times 7$ 에서 $5 \times 5$ 를 도려낸 부분이므로, 그 안의 타일 수는 두 넓이의 차입니다.

💡 "큰 정사각형 $-$ 작은 정사각형" 은 1단계에서 이미 쓴 패턴 그대로 — $3$ 대 $1$ 에서 $7$ 대 $5$ 로 크기만 바뀐 같은 작업입니다.

• 총 개수를 갱신합니다.
• 기존 검은 타일 $8$ 개에 새 테두리의 $24$ 개가 더해지므로 검은 총합은 $8 + 24 = 32$ 개.
• 흰 타일은 그대로 $17$ 개.
• 검산: $32 + 17 = 49$ 로 $7 \times 7$ 전체와 일치합니다.

💡 "기존" 과 "새로" 를 갈라 두면 세기는 작은 덧셈으로 끝나고, 합계 $49$ 가 계산이 맞았는지 확인해 줍니다.

• 검은 타일과 흰 타일의 비를 적습니다.
• $17$ 은 소수이고 $32$ 의 약수가 아니므로 $\gcd(32, 17) = 1$, 즉 이미 기약비입니다.

💡 비는 두 개수를 비교하는 표현일 뿐이라, $32$ 와 $17$ 만 나오면 답은 바로 보입니다.