AMC 8 · 2012 · #25

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

pythagorean-theoremarea-trianglesarea-rectanglesspatial-visualization area-differenceidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

넓이가 $4$ 인 정사각형이 넓이가 $5$ 인 정사각형에 내접해 있는데, 작은 정사각형의 각 꼭짓점은 큰 정사각형의 한 변 위에 놓여 있습니다. 작은 정사각형의 한 꼭짓점은 큰 정사각형의 한 변을 길이 $a$ 와 길이 $b$ 의 두 구간으로 나눕니다. $ab$ 의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}\frac{1}5$

(B)

$hspace{.05in}\frac{2}5$

(C)

$hspace{.05in}\frac{1}2$

(D)

$hspace{.05in}1$

(E)

$hspace{.05in}4$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 넓이 $5$ 인 바깥 정사각형 안에 넓이 $4$ 인 (기울어진) 정사각형이 들어 있고, 안쪽 정사각형의 네 꼭짓점이 각각 바깥 정사각형의 한 변 위에 놓여 있습니다. 바깥 정사각형의 한 변은 길이 $a$, $b$ 두 구간으로 나뉩니다. $ab$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 바깥 정사각형 넓이 $= 5 \;\Rightarrow\;$ 한 변 $= \sqrt{5}$; 안쪽 정사각형 넓이 $= 4 \;\Rightarrow\;$ 한 변 $= 2$; 바깥 정사각형의 각 변이 길이 $a$, $b$ 의 두 구간으로 나뉘고 $a + b = \sqrt{5}$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{5}$, (B) $\tfrac{2}{5}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $1$, (E) $4$

구하는 것: 곱 $ab$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

전형적인 "정사각형 속 정사각형" 그림입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 네 모서리에 생기는 직각삼각형 — 두 다리가 각각 $a$, $b$ 인 — 을 눈으로 확인하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "바깥 정사각형 $=$ 안쪽 정사각형 $+$ 네 모서리 삼각형" 이라는 단순한 넓이 식으로 바꿉니다. 네 삼각형의 넓이 합은 $5 - 4 = 1$. 이 경로는 피타고라스나 $(a+b)^2$ 전개를 쓰지 않아 객관식 기하 문제에서 가장 짧은 풀이입니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 5.NF.B.7 단계 1

그림부터 그립니다.
바깥 정사각형의 넓이가 $5$ 이므로 한 변은 $\sqrt{5}$ 입니다.
안쪽 기울어진 정사각형의 네 꼭짓점이 바깥 정사각형의 네 변에 하나씩 놓여, 각 변을 짧은 구간 $a$ 와 긴 구간 $b$ 로 나눕니다.
따라서 $a + b = \sqrt{5}$.

$$a + b = \sqrt{5}$$

💡 그림을 그리면 네 모서리 직각삼각형 — 이 문제의 핵심 도형 — 이 자연스럽게 드러납니다.

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 2

바깥 정사각형의 한 모서리를 봅니다.
안쪽 정사각형의 한 변이 그 모서리를 잘라 내고, 잘려 나가는 조각의 두 다리는 한 변에 놓인 $a$ 구간과 이웃한 변에 놓인 $b$ 구간입니다.
따라서 각 모서리 조각은 다리가 $a$, $b$ 인 직각삼각형입니다.

$$\text{두 다리} = a, \; b, \quad \text{직각은 바깥 정사각형의 모서리에 위치}$$

💡 잘려 나가는 모서리가 직각삼각형임을 인식하는 것은 4학년 도형 분류 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

네 모서리 삼각형의 넓이 합을 두 가지 방법으로 구합니다.
첫 번째 방법: 네 삼각형은 안쪽 정사각형과 바깥 정사각형 사이의 영역을 정확히 채우므로, 그 넓이 합은 두 정사각형 넓이의 차와 같습니다.

$$\text{네 삼각형 넓이 합} = 5 - 4 = 1$$

💡 바깥 정사각형을 "안쪽 정사각형 $+$ 모서리 삼각형 4개" 로 쪼개는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 6학년 "도형의 분해와 합성" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

두 번째 방법: 각 직각삼각형의 다리가 $a$, $b$ 이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2}ab$ 입니다.
합동인 삼각형이 네 개 있으므로 합은 $4 \times \tfrac{1}{2}ab = 2ab$.

$$4 \times \tfrac{1}{2}ab = 2ab$$

💡 직각삼각형은 두 다리가 곧 밑변과 높이이므로 넓이가 $\tfrac{1}{2} \times a \times b$ — 6학년 넓이 공식 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 5

같은 "네 삼각형 넓이 합" 을 두 가지로 표현했으므로 두 식을 같다고 놓고 $ab$ 에 대해 풉니다.

$$2ab = 1 \;\Rightarrow\; ab = \tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $2ab = 1$ 의 양변을 $2$ 로 나누는 일차 방정식 — 6학년 기초 대수 그대로입니다.

[1] #1 5.NF.B.7 그림부터 그립니다. 바깥 정사각형의 넓이가 $5$ 이므로 한 변은 $\sqrt{5}$ 입니다. 안쪽 기울어진 정사각형의 네 꼭짓점이 바깥 정사각

[2] #1 4.G.A.2 바깥 정사각형의 한 모서리를 봅니다. 안쪽 정사각형의 한 변이 그 모서리를 잘라 내고, 잘려 나가는 조각의 두 다리는 한 변에 놓인 $a$ 구간

[3] #7 6.G.A.1 네 모서리 삼각형의 넓이 합을 두 가지 방법으로 구합니다. 첫 번째 방법: 네 삼각형은 안쪽 정사각형과 바깥 정사각형 사이의 영역을 정확히 채우

[4] #7 6.G.A.1 두 번째 방법: 각 직각삼각형의 다리가 $a$, $b$ 이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2}ab$ 입니다. 합동인 삼각형이 네 개 있으므로 합

[5] #7 6.EE.B.7 같은 "네 삼각형 넓이 합" 을 두 가지로 표현했으므로 두 식을 같다고 놓고 $ab$ 에 대해 풉니다.

검토

합리성 확인: 구체적인 수로 확인해 봅시다. $a + b = \sqrt{5} \approx 2.236$, $ab = \tfrac{1}{2}$ 인 두 수는 $t^2 - \sqrt{5}\,t + \tfrac{1}{2} = 0$ 의 두 근, 즉 $t = \tfrac{\sqrt{5} \pm \sqrt{3}}{2}$ 이므로 $a \approx 0.252$, $b \approx 1.984$. 둘 다 양수이고 길이 $\sqrt{5}$ 인 변 안에 잘 들어맞으며, 이 다리들로 만든 직각삼각형의 빗변은 $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a+b)^2 - 2ab} = \sqrt{5 - 1} = 2$ — 정확히 안쪽 정사각형의 한 변과 같습니다. 모두 일치합니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) $+$ 피타고라스 정리: 모서리 직각삼각형의 빗변은 안쪽 정사각형의 한 변이므로 $a^2 + b^2 = 4$. 한편 $a + b = \sqrt{5}$ 의 양변을 제곱하면 $a^2 + 2ab + b^2 = 5$. 두 식을 빼면 $2ab = 1$, 따라서 $ab = \tfrac{1}{2}$. 같은 답 (C) 지만 식 조작이 한 단계 더 길어, 넓이 차로 푸는 쪽이 더 짧습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NF.B.7 분수의 나눗셈에 대한 이전 이해의 적용과 확장 ($a + b = \sqrt{5}$ 를 "한 변을 두 구간으로 분할" 로 해석하는 5학년 양의 분할 개념을 바깥 정사각형의 변에 적용.)
4.G.A.2 평행선·수직선의 유무와 특정 크기의 각의 유무로 평면도형 분류 (바깥 정사각형의 모서리에서 잘려 나가는 조각이 직각삼각형(바깥 정사각형의 모서리 각이 직각)임을 인식.)
6.G.A.1 직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해하여 직각삼각형·기타 삼각형·다각형의 넓이 구하기 (바깥 정사각형을 "안쪽 정사각형 $+$ 모서리 직각삼각형 4개" 로 분해하고 각 삼각형 넓이를 $\tfrac{1}{2}ab$ 로 계산.)
6.EE.B.7 $x + p = q$ 와 $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 ($2ab = 1$ 을 풀어 $ab = \tfrac{1}{2}$ 을 얻는 일차 방정식 풀이.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 넓이 추론만 알면 풀 수 있어요 — 바깥 정사각형을 "안쪽 정사각형 $+$ 네 모서리 직각삼각형" 으로 쪼개면 한 줄 방정식으로 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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