AMC 8 · 2013 · #23
학년 8 geometry-2d문제
삼각형 ABC 에서 각 ABC 는 직각입니다. 그림과 같이 △ABC 의 세 변은 각각 어떤 반원의 지름입니다. AB 를 지름으로 하는 반원의 넓이는 8π 이고, AC 를 지름으로 하는 반원의 호의 길이는 8.5π 입니다. BC 를 지름으로 하는 반원의 반지름은 얼마일까요?
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AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 직각삼각형 $\triangle ABC$ 의 직각은 꼭짓점 $B$ 에 있습니다. 세 변 각각이 바깥쪽으로 그린 반원의 지름입니다. $\overline{AB}$ 위의 반원의 넓이가 $8\pi$, $\overline{AC}$ 위의 반원의 호의 길이가 $8.5\pi$ 일 때, $\overline{BC}$ 위의 반원의 반지름을 구하세요.
주어진 것: $\angle ABC = 90^\circ$ 이므로 $\overline{AC}$ 가 빗변; $\triangle ABC$ 의 각 변이 그 변 위에 그린 반원의 지름; $\overline{AB}$ 위 반원의 넓이 $= 8\pi$; $\overline{AC}$ 위 반원의 호의 길이 $= 8.5\pi$; 선택지: (A) $7$, (B) $7.5$, (C) $8$, (D) $8.5$, (E) $9$
구하는 것: $\overline{BC}$ 위 반원의 반지름
이해
문제 재정리: 직각삼각형 $\triangle ABC$ 의 직각은 꼭짓점 $B$ 에 있습니다. 세 변 각각이 바깥쪽으로 그린 반원의 지름입니다. $\overline{AB}$ 위의 반원의 넓이가 $8\pi$, $\overline{AC}$ 위의 반원의 호의 길이가 $8.5\pi$ 일 때, $\overline{BC}$ 위의 반원의 반지름을 구하세요.
주어진 것: $\angle ABC = 90^\circ$ 이므로 $\overline{AC}$ 가 빗변; $\triangle ABC$ 의 각 변이 그 변 위에 그린 반원의 지름; $\overline{AB}$ 위 반원의 넓이 $= 8\pi$; $\overline{AC}$ 위 반원의 호의 길이 $= 8.5\pi$; 선택지: (A) $7$, (B) $7.5$, (C) $8$, (D) $8.5$, (E) $9$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
그림이 등장하는 문제라 도구 #1(그림 그리기) 로 직각삼각형과 세 반원을 빠르게 스케치하면 "반원의 측정값 → 반지름 → 지름 → 삼각형 변의 길이" 라는 연결 고리가 한눈에 보입니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 일을 세 조각으로 나눕니다: (1) 넓이로부터 $AB$ 복원, (2) 호 길이로부터 $AC$ 복원, (3) 피타고라스 정리로 $BC$ 를 구해 절반을 취하기. $r^2 = 16$ 수준의 계산만 있으면 충분해서 별도의 대수 도구는 필요 없습니다.
실행 — 정답: B
7.G.B.4 단계 1 - 그림을 그립니다 — 꼭짓점 $B$ 가 직각인 $\triangle ABC$ 와 각 변 위에 얹은 반원.
- 세 반원의 반지름을 각각 $r_{AB}$, $r_{AC}$, $r_{BC}$ 로 두면, 변 자체가 지름이므로 "변의 길이 $= 2r$" 이 됩니다.
💡 그림에 각 변을 $2r$ 로 적어 두면, 반원에서 우리가 정말로 필요한 건 "반지름 하나" 라는 게 분명해집니다.
7.G.B.4 단계 2 - $\overline{AB}$ 위 반원에 넓이 공식을 적용합니다.
- 원의 넓이는 $\pi r^2$ 이므로 반원의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\pi r^2$ 입니다.
- 이 값을 $8\pi$ 와 같다고 놓으면 $r_{AB}^2 = 16$, 즉 $r_{AB} = 4$ 이고 $AB = 2 \cdot 4 = 8$ 이 됩니다.
💡 7학년 원 넓이 공식을 거꾸로 풀어 반지름을 복원하고, 두 배 하면 곧장 변의 길이 — 깔끔한 한 단계짜리 작은 문제.
7.G.B.4 단계 3 - $\overline{AC}$ 위 반원에 호 길이 공식을 적용합니다.
- 원의 둘레가 $2\pi r$ 이므로 반원의 호 길이는 그 절반인 $\pi r$ 입니다.
- $\pi r_{AC} = 8.5\pi$ 로 놓으면 $r_{AC} = 8.5$, 따라서 $AC = 2 \cdot 8.5 = 17$.
💡 같은 7학년 원 공식 묶음 — 이번엔 넓이가 아니라 호 길이 — 으로 빗변이 곧장 나옵니다.
8.G.B.7 단계 4 - $AB$ 와 $AC$ 를 손에 쥐었으니 피타고라스 정리를 씁니다.
- $\overline{AC}$ 가 빗변(직각 $B$ 의 맞은편)이므로 $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
- $AB = 8$, $AC = 17$ 이면 유명한 $8$-$15$-$17$ 피타고라스 수 묶음이라 $BC = 15$ 가 됩니다.
💡 $8$-$15$-$17$ 을 피타고라스 수로 알아채면 제곱근 계산을 건너뛸 수 있습니다 — 8학년 수준의 패턴 인식.
7.G.B.4 단계 5 - 마지막으로 $BC$ 를 반으로 나눠 그 위 반원의 반지름을 구합니다.
- $BC$ 가 지름이니까 $r_{BC} = BC/2 = 15/2 = 7.5$.
💡 1단계에서 깔아 둔 "변 $= 2r$" 의 연결 고리를 마지막 한 번의 나눗셈으로 닫아 줍니다.
7.G.B.4 그림을 그립니다 — 꼭짓점 $B$ 가 직각인 $\triangle ABC$ 와 각 변 위에 얹은 반원. 세 반원의 반지름을 각각 $r_{AB}$, 7.G.B.4 $\overline{AB}$ 위 반원에 넓이 공식을 적용합니다. 원의 넓이는 $\pi r^2$ 이므로 반원의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\p 7.G.B.4 $\overline{AC}$ 위 반원에 호 길이 공식을 적용합니다. 원의 둘레가 $2\pi r$ 이므로 반원의 호 길이는 그 절반인 $\pi r 8.G.B.7 $AB$ 와 $AC$ 를 손에 쥐었으니 피타고라스 정리를 씁니다. $\overline{AC}$ 가 빗변(직각 $B$ 의 맞은편)이므로 $AB^2 7.G.B.4 마지막으로 $BC$ 를 반으로 나눠 그 위 반원의 반지름을 구합니다. $BC$ 가 지름이니까 $r_{BC} = BC/2 = 15/2 = 7.5$ 검토
합리성 확인: 변 길이가 서로 맞는지 점검합니다: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ✓ — 유명한 $8$-$15$-$17$ 직각삼각형. $\overline{BC}$ 위 반원의 반지름은 나머지 두 반원 사이의 크기여야 자연스러운데, $r_{AB} = 4$, $r_{BC} = 7.5$, $r_{AC} = 8.5$ 로 $4 < 7.5 < 8.5$ 가 잘 성립합니다. 답 (B) 는 $15$ 의 정확히 절반으로, 예상 범위에 들어옵니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 직접 시험합니다. 각 후보 $r_{BC}$ 에 대해 $BC = 2r_{BC}$ 를 만들고 $AB = 8$, $AC = 17$ 과 함께 $AB^2 + BC^2 = AC^2$ 가 성립하는지 봅니다. (A) $r=7 \Rightarrow BC=14$: $8^2 + 14^2 = 260 \neq 289$. (B) $r=7.5 \Rightarrow BC=15$: $8^2 + 15^2 = 289 = 17^2$ ✓. (C)-(E) 는 $BC = 16, 17, 18$ 로 모두 빗변을 초과합니다. 피타고라스 점검을 통과하는 건 (B) 뿐.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.G.B.4원의 넓이·둘레 공식을 알고 문제 해결에 사용하기 (반원의 넓이 공식 $\tfrac{1}{2}\pi r^2 = 8\pi$ 를 뒤집어 $r_{AB} = 4$ 를 구하고, 반원의 호 길이 $\pi r = 8.5\pi$ 를 뒤집어 $r_{AC} = 8.5$ 를 구하고, 마지막에 $BC$ 를 절반으로 나눠 $r_{BC}$ 를 얻는 데 사용.)8.G.B.7피타고라스 정리로 직각삼각형의 변의 길이 구하기 ($8^2 + BC^2 = 17^2$ 에서 빠져 있던 변 $BC = 15$ 를 구하는 데 사용 (전형적인 $8$-$15$-$17$ 피타고라스 수).)
⭐ 각 변이 지름이라서 반원의 측정값(넓이든 호 길이든)이 곧장 삼각형의 변 하나를 알려 줘요 — 마지막은 피타고라스 정리가 마무리. 7학년 원 공식 두 개 위에 얹은 깔끔한 8학년 아이디어입니다.
⭐ 각 변이 지름이라서 반원의 측정값(넓이든 호 길이든)이 곧장 삼각형의 변 하나를 알려 줘요 — 마지막은 피타고라스 정리가 마무리. 7학년 원 공식 두 개 위에 얹은 깔끔한 8학년 아이디어입니다.
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