AMC 8 · 2013 · #24
학년 6 geometry-2d문제
세 정사각형 ABCD, EFGH, GHIJ 는 넓이가 모두 같습니다. 점 C 와 점 D 는 각각 변 IH 와 변 HE 의 중점입니다. 색칠된 오각형 AJICB 의 넓이와 세 정사각형 넓이의 합의 비는 얼마일까요?
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AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 넓이가 같은 정사각형 세 개가 ㄴ자 모양으로 놓여 있습니다 — 정사각형 $EFGH$ 는 왼쪽, $GHIJ$ 는 오른쪽에 변 $GH$ 를 공유하며 붙어 있고, 세 번째 정사각형 $ABCD$ 는 그 위에 얹혀 있는데 밑변 $DC$ 의 두 끝이 정확히 변 $HE$ 와 $IH$ 의 중점에 닿습니다. 색칠된 오각형 $AJICB$ 의 넓이가 세 정사각형 전체 넓이에서 차지하는 비율을 구하세요.
주어진 것: 정사각형 $ABCD$, $EFGH$, $GHIJ$ 의 넓이는 모두 같다; $D$ 는 변 $HE$ 의 중점, $C$ 는 변 $IH$ 의 중점이다; 색칠된 영역은 오각형 $AJICB$ ($A \to J \to I \to C \to B$ 순); 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{7}{24}$, (C) $\tfrac{1}{3}$, (D) $\tfrac{3}{8}$, (E) $\tfrac{5}{12}$
구하는 것: $\dfrac{\text{오각형 } AJICB \text{ 의 넓이}}{\text{세 정사각형 넓이의 합}}$
이해
문제 재정리: 넓이가 같은 정사각형 세 개가 ㄴ자 모양으로 놓여 있습니다 — 정사각형 $EFGH$ 는 왼쪽, $GHIJ$ 는 오른쪽에 변 $GH$ 를 공유하며 붙어 있고, 세 번째 정사각형 $ABCD$ 는 그 위에 얹혀 있는데 밑변 $DC$ 의 두 끝이 정확히 변 $HE$ 와 $IH$ 의 중점에 닿습니다. 색칠된 오각형 $AJICB$ 의 넓이가 세 정사각형 전체 넓이에서 차지하는 비율을 구하세요.
주어진 것: 정사각형 $ABCD$, $EFGH$, $GHIJ$ 의 넓이는 모두 같다; $D$ 는 변 $HE$ 의 중점, $C$ 는 변 $IH$ 의 중점이다; 색칠된 영역은 오각형 $AJICB$ ($A \to J \to I \to C \to B$ 순); 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{7}{24}$, (C) $\tfrac{1}{3}$, (D) $\tfrac{3}{8}$, (E) $\tfrac{5}{12}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
오각형 $AJICB$ 는 대각선 변 $AJ$ 가 두 정사각형을 가로지르는 까다로운 모양입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 도형 문제의 단골 — 점 $C$ 와 $I$ 를 지나는 가로선으로 오각형을 자르면 위쪽은 사다리꼴, 아래쪽은 직각삼각형이라는 깔끔한 두 조각이 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 좌표를 매겨 두면 길이를 종이에서 바로 읽을 수 있어서 대수 식 없이 풀리고, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 변의 길이를 $s = 2$ 같은 친절한 값으로 잡으면 모든 거리가 정수나 절반으로 떨어집니다 — 비율은 어차피 $s$ 와 무관하니까요.
실행 — 정답: C
5.G.A.2 단계 1 - 도형을 좌표 평면 위에 올립니다.
- 한 변 길이를 $s = 2$ 로 잡고 점 $G$ 를 원점에 두면, $EFGH$ 의 꼭짓점은 $G(0,0), H(0,2), E(-2,2), F(-2,0)$ 이고 $GHIJ$ 의 꼭짓점은 $G(0,0), H(0,2), I(2,2), J(2,0)$ 입니다.
- 중점 조건으로 $D = (-1, 2)$, $C = (1, 2)$ 가 되고, 위쪽 정사각형 $ABCD$ 의 윗변은 $A(-1, 4)$, $B(1, 4)$ 입니다.
💡 실제 도형의 꼭짓점에 좌표를 매겨 그리는 것은 5학년 좌표 평면 표현 표준 그대로입니다.
3.MD.C.7 단계 2 - 도구 #9 로 문제를 작은 수로 줄입니다.
- 정사각형 하나의 넓이는 $2 \times 2 = 4$, 세 개 합치면 $12$ 입니다.
- 구해야 할 비율은 $\dfrac{\text{오각형 넓이}}{12}$ 이므로, 이제 오각형의 넓이만 이 구체적인 경우에서 구하면 됩니다.
💡 한 변 $\times$ 한 변으로 정사각형 넓이를 구하는 것은 3학년 "곱셈으로 넓이 구하기" 그대로이며, 추상적인 $s$ 를 친절한 수 $4$ 로 바꿔 줍니다.
6.G.A.3 단계 3 - 도구 #7 을 적용해 오각형을 가로선 $y = 2$ ($D, H, C, I$ 를 지나는 선) 로 자릅니다.
- 비스듬한 변 $AJ$ 는 $A(-1, 4)$ 에서 $J(2, 0)$ 까지 내려가는데, $y = 4$ 에서 $y = 0$ 까지의 정확히 중간인 $y = 2$ 일 때 $x$ 좌표도 $\tfrac{-1 + 2}{2} = \tfrac{1}{2}$ 가 됩니다.
- 이 교점을 $K(\tfrac{1}{2}, 2)$ 라 하면 오각형이 위쪽 $AKCB$ 와 아래쪽 $KIJ$ 두 조각으로 나뉩니다.
💡 두 꼭짓점을 잇는 선분이 가로선과 만나는 점을 찾는 것은 6학년 "좌표 평면 위 다각형" 표준입니다.
6.G.A.1 단계 4 - 위쪽 조각 $AKCB$ 는 $y = 2$ 와 $y = 4$ 사이에 놓인 사다리꼴입니다.
- 윗변 $AB$ 의 길이는 $1 - (-1) = 2$, 아랫변 $KC$ 의 길이는 $1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}$, 두 평행변 사이의 높이는 $4 - 2 = 2$.
- 사다리꼴 넓이 = (평행변 두 길이의 평균) $\times$ 높이.
💡 사다리꼴을 쪼개서 넓이를 구하는 것은 6학년 "특수 사각형의 넓이" 표준 그대로입니다.
6.G.A.1 단계 5 - 아래쪽 조각 $KIJ$ 는 직각삼각형입니다.
- 변 $IJ$ 는 세로로 길이 $2$, 변 $KI$ 는 가로로 길이 $2 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$ 이고 두 변은 점 $I$ 에서 직각으로 만납니다.
💡 좌표 위 직각삼각형의 넓이를 밑변 $\times$ 높이 $\div\, 2$ 로 구하는 것 역시 6학년 다각형 넓이 도구.
6.RP.A.3 단계 6 - 두 조각의 넓이를 더해 오각형 넓이를 얻고, 문제의 비율을 만듭니다.
- 오각형 넓이 = $\tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2} = 4$ — 마침 정사각형 하나의 넓이와 같다는 깔끔한 확인이 됩니다.
- 세 정사각형 전체 넓이는 $12$.
💡 두 넓이를 비교해 단순 분수로 나타내는 것은 전형적인 6학년 비율·비례 추론.
5.G.A.2 도형을 좌표 평면 위에 올립니다. 한 변 길이를 $s = 2$ 로 잡고 점 $G$ 를 원점에 두면, $EFGH$ 의 꼭짓점은 $G(0,0), H 3.MD.C.7 도구 #9 로 문제를 작은 수로 줄입니다. 정사각형 하나의 넓이는 $2 \times 2 = 4$, 세 개 합치면 $12$ 입니다. 구해야 할 비 6.G.A.3 도구 #7 을 적용해 오각형을 가로선 $y = 2$ ($D, H, C, I$ 를 지나는 선) 로 자릅니다. 비스듬한 변 $AJ$ 는 $A(-1, 6.G.A.1 위쪽 조각 $AKCB$ 는 $y = 2$ 와 $y = 4$ 사이에 놓인 사다리꼴입니다. 윗변 $AB$ 의 길이는 $1 - (-1) = 2$, 아 6.G.A.1 아래쪽 조각 $KIJ$ 는 직각삼각형입니다. 변 $IJ$ 는 세로로 길이 $2$, 변 $KI$ 는 가로로 길이 $2 - \tfrac{1}{2} 6.RP.A.3 두 조각의 넓이를 더해 오각형 넓이를 얻고, 문제의 비율을 만듭니다. 오각형 넓이 = $\tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2} = 4 검토
합리성 확인: 오각형 넓이가 $4$ — 정사각형 하나의 넓이와 정확히 같다는 결과가 그림과 맞아떨어집니다. 오각형은 오른쪽 정사각형 $GHIJ$ 를 통째로 덮고, 위쪽 정사각형 $ABCD$ 에서는 오른쪽 일부를 더 받아 가는 대신 왼쪽 일부를 그대로 비워 둡니다. 비워 두는 삼각형과 더 받아 가는 삼각형은 합동이므로 (둘 다 다리가 $1$ 과 $\tfrac{3}{2}$ 인 직각삼각형, $s = 2$ 기준) 주고받는 넓이가 정확히 상쇄되어 오각형은 결국 정사각형 하나의 넓이가 됩니다. 세 정사각형 중 하나의 몫이므로 $\tfrac{1}{3}$, 즉 (C) 와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 — 잘라 붙이기) 이 더 우아한 길입니다. 선분 $AJ$ 가 가로선 $DC$ 와 만나는 점을 $K$ 라 하면, 두 직각삼각형 $\triangle ADK$ 와 $\triangle JIK$ 는 합동입니다 (둘 다 두 다리가 $s$ 와 $\tfrac{3s}{4}$). 정사각형 $ABCD$ 에서 $\triangle ADK$ 를 떼어 $\triangle JIK$ 위치로 옮기는 것은 "넓이 합이 0" 인 맞교환이므로, 오각형의 넓이는 정사각형 $ABCD$ 의 넓이 $s^2$ 과 같습니다. 따라서 비율은 좌표를 매기지 않고도 $\dfrac{s^2}{3s^2} = \dfrac{1}{3}$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.MD.C.7곱셈·덧셈 연산으로 넓이 구하기 (정사각형 한 개의 넓이 $2 \times 2 = 4$ 와 세 개 합한 넓이 $3 \times 4 = 12$ 를 구하는 데 사용.)5.G.A.2점을 그래프로 나타내 실생활·수학 문제 표현 (세 정사각형을 좌표 평면에 올리고 꼭짓점 $A, B, C, D, E, H, I, J$ 의 좌표를 매겨 거리를 직접 읽도록 함.)6.G.A.1쪼개기·합치기로 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이 구하기 (오각형 $AJICB$ 를 사다리꼴 $AKCB$ (넓이 $\tfrac{5}{2}$) 와 직각삼각형 $KIJ$ (넓이 $\tfrac{3}{2}$) 로 나누어 합 $4$ 를 얻는 데 사용.)6.G.A.3주어진 꼭짓점 좌표로 좌표 평면 위에 다각형 그리기 (오각형의 비스듬한 변 $AJ$ 가 점 $C, I$ 를 지나는 가로선과 만나는 교점 $K(\tfrac{1}{2}, 2)$ 를 찾는 데 사용.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (오각형과 세 정사각형의 넓이 비 $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ 를 만들어 답을 도출.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "다각형을 쪼개서 넓이 구하기" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "다각형을 쪼개서 넓이 구하기" 만 알면 풀 수 있어요!
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