AMC 8 · 2014 · #15
학년 8 geometry-2d문제
중심이 O인 원의 둘레가 아래 그림처럼 A부터 L까지 12개의 똑같은 호로 나뉘어 있습니다. 각 x와 y의 합은 몇 도일까요?
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AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 중심이 $O$ 인 원의 둘레가 $12$ 개의 같은 호로 나뉘어 있고, 끊긴 지점들이 차례대로 $A, B, C, \ldots, L$ 로 표시되어 있습니다. 그림 안에서 각 $x$ 는 $E$–$A$–$G$ 경로의 꼭짓점 $A$ 에서 만들어지는 각($x = \angle EAG$)이고, 각 $y$ 는 $A$–$G$–$I$ 경로의 꼭짓점 $G$ 에서 만들어지는 각($y = \angle AGI$)입니다. $x + y$ 의 값을 도(°) 단위로 구하세요.
주어진 것: 원 전체 $360^\circ$ 가 연속된 두 문자 사이마다 하나씩, $12$ 개의 같은 호로 나뉘어 있다; 꼭짓점 $A, E, G, I$ 는 모두 원 위에 있다; $x = \angle EAG$ 는 원 위 점 $A$ 가 꼭짓점이고, 두 변이 원 위 점 $E, G$ 에 닿는다; $y = \angle AGI$ 는 원 위 점 $G$ 가 꼭짓점이고, 두 변이 원 위 점 $A, I$ 에 닿는다; 선택지: (A) $75$, (B) $80$, (C) $90$, (D) $120$, (E) $150$ (도)
구하는 것: $x + y$ 의 값(도)
이해
문제 재정리: 중심이 $O$ 인 원의 둘레가 $12$ 개의 같은 호로 나뉘어 있고, 끊긴 지점들이 차례대로 $A, B, C, \ldots, L$ 로 표시되어 있습니다. 그림 안에서 각 $x$ 는 $E$–$A$–$G$ 경로의 꼭짓점 $A$ 에서 만들어지는 각($x = \angle EAG$)이고, 각 $y$ 는 $A$–$G$–$I$ 경로의 꼭짓점 $G$ 에서 만들어지는 각($y = \angle AGI$)입니다. $x + y$ 의 값을 도(°) 단위로 구하세요.
주어진 것: 원 전체 $360^\circ$ 가 연속된 두 문자 사이마다 하나씩, $12$ 개의 같은 호로 나뉘어 있다; 꼭짓점 $A, E, G, I$ 는 모두 원 위에 있다; $x = \angle EAG$ 는 원 위 점 $A$ 가 꼭짓점이고, 두 변이 원 위 점 $E, G$ 에 닿는다; $y = \angle AGI$ 는 원 위 점 $G$ 가 꼭짓점이고, 두 변이 원 위 점 $A, I$ 에 닿는다; 선택지: (A) $75$, (B) $80$, (C) $90$, (D) $120$, (E) $150$ (도)
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기
그림이 복잡해 보이지만 묻는 것은 $x + y$ 뿐이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (a) 작은 호 하나의 크기, (b) $x$ 의 값, (c) $y$ 의 값 — 이렇게 세 개의 작은 문제로 나눕니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 수단입니다 — 그림에 반지름 $OE, OG, OA, OI$ 를 추가로 그어 두면, 원 위에서 만들어지는 각들이 모두 "반지름 두 개로 이루어진 이등변삼각형" 두 개로 쪼개집니다. 그러면 원주각 정리를 블랙박스로 외울 필요 없이, 삼각형 내각합과 직선 $180^\circ$ 만으로 중심각으로부터 $x, y$ 를 구할 수 있습니다.
실행 — 정답: C
4.MD.C.5 단계 1 - 작은 호 하나의 크기를 구합니다.
- $12$ 개의 호가 모두 같고 합쳐서 원 전체 $360^\circ$ 를 차지하므로, 작은 호 하나 — 다시 말해 중심 $O$ 에서 그 호를 여는 중심각 — 은 $360^\circ / 12 = 30^\circ$ 입니다.
💡 중심을 한 바퀴 도는 각은 $360^\circ$ 이고, 이를 $12$ 등분한다는 4학년 각 측정 개념 그대로입니다.
5.G.B.4 단계 2 - $x = \angle EAG$ 를 풀기 위해 그림에 반지름 $OE, OA, OG$ 를 그어 넣습니다(도구 #1).
- 중심각 $\angle EOG$ 는 $E$ 부터 $G$ 까지의 작은 쪽 호에 대응하는데, 그 호는 작은 호 $2$ 개(호 $EF$ 와 호 $FG$)로 이루어져 있으므로 $\angle EOG = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ 입니다.
- 또 $OA = OE = OG$ (모두 반지름) 이므로 삼각형 $OAE$ 와 $OAG$ 는 모두 이등변삼각형입니다.
💡 같은 원의 반지름 두 개는 항상 길이가 같으므로, 반지름 두 개로 만든 삼각형은 자동으로 이등변삼각형 — 5학년 "성질로 도형을 분류" 그대로입니다.
8.G.A.5 단계 3 - $x$ 의 크기를 계산합니다.
- 이등변삼각형 $\triangle OAE$ 에서 $\angle OAE = \angle OEA = \alpha$ 로, 이등변삼각형 $\triangle OAG$ 에서 $\angle OAG = \angle OGA = \beta$ 로 두면, $O$ 가 $\angle EAG$ 안쪽에 있을 때는 $x = \alpha + \beta$, 바깥쪽에 있을 때는 $x = |\alpha - \beta|$ 가 됩니다.
- 어느 경우든 외각 정리·삼각형 내각합으로 정리해 보면 항상 깔끔하게 같은 결론에 도달합니다 — $x$ 는 중심각 $\angle EOG$ 의 절반입니다.
- $\angle EOG = 60^\circ$ 을 대입합니다.
💡 반지름으로 만든 두 이등변삼각형에 삼각형 내각합을 적용하는 것은 8학년 "비형식적 논증" 동작이고, 그 결론이 바로 "중심각의 절반" 규칙입니다.
8.G.A.5 단계 4 - $y = \angle AGI$ 에도 같은 방법을 그대로 씁니다.
- $A$ 에서 $I$ 까지의 작은 쪽 호($G$ 를 지나지 않는 쪽)는 $A \to L \to K \to J \to I$ 로 작은 호 $4$ 개이므로 중심각 $\angle AOI = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ 입니다.
- 반지름 $OA, OG, OI$ 로 만들어지는 이등변삼각형들에 같은 논증을 적용하면 $y = \tfrac{1}{2} \cdot \angle AOI$ 입니다.
💡 두 번째 각에 같은 패턴을 한 번 더 적용하면, "호의 절반" 규칙이 재사용 가능하다는 것이 분명해집니다.
4.MD.C.7 단계 5 - 두 조각을 더합니다.
- $x + y = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ — 선택지 (C) 입니다.
💡 두 부분 각을 더하는 것은 4학년 "각의 크기는 덧셈으로 분해된다" 개념의 마무리입니다.
4.MD.C.5 작은 호 하나의 크기를 구합니다. $12$ 개의 호가 모두 같고 합쳐서 원 전체 $360^\circ$ 를 차지하므로, 작은 호 하나 — 다시 말 5.G.B.4 $x = \angle EAG$ 를 풀기 위해 그림에 반지름 $OE, OA, OG$ 를 그어 넣습니다(도구 #1). 중심각 $\angle EOG$ 8.G.A.5 $x$ 의 크기를 계산합니다. 이등변삼각형 $\triangle OAE$ 에서 $\angle OAE = \angle OEA = \alpha$ 로, 8.G.A.5 $y = \angle AGI$ 에도 같은 방법을 그대로 씁니다. $A$ 에서 $I$ 까지의 작은 쪽 호($G$ 를 지나지 않는 쪽)는 $A \t 4.MD.C.7 두 조각을 더합니다. $x + y = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ — 선택지 (C) 입니다. 검토
합리성 확인: 작은 호 하나가 $30^\circ$, $x$ 는 $2$ 개 호 위, $y$ 는 $4$ 개 호 위에 얹혀 있어 호 합계가 $6$ 개 $= 180^\circ$ 입니다. 원 위(원주각) 합은 그 절반인 $90^\circ$ — 선택지 (C) 와 정확히 일치합니다. 그림에서도 $x, y$ 가 예각으로 보이고 대략 $30^\circ, 60^\circ$ 정도여서 직관과도 맞습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)로 선택지를 좁혀 봅니다. 호 절반 규칙에 따라 $x, y$ 는 모두 $\tfrac{30^\circ}{2} = 15^\circ$ 의 배수이므로 합도 $15^\circ$ 의 배수입니다 — 이 조건만으로 $(B)\;80$ 은 제외됩니다. 두 각 모두 작은 쪽 호 위에 있어 각자 $90^\circ$ 보다 작고, $(E)\;150$ 은 두 예각의 합치고는 너무 큽니다. $(D)\;120$ 이 되려면 평균이 $60^\circ$ 라 두 호 모두 크다는 뜻인데 그림과 어긋납니다. 남은 $(A)\;75$ 와 $(C)\;90$ 중, $2$ 호 + $4$ 호 계산이 정확히 $15^\circ \cdot 6 = 90^\circ$ 를 주므로 $(C)$ 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.MD.C.5두 반직선이 한 점에서 만나 만드는 각의 개념과 측정 이해 (중심 $O$ 주위 $360^\circ$ 를 $12$ 등분하여 각 작은 호당 중심각 $30^\circ$ 를 구하는 데 사용.)4.MD.C.7각의 크기는 덧셈적임을 이해하고, 각을 겹치지 않는 부분으로 분해 (두 원주각을 더해 $x + y = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ 라는 최종 답을 만드는 데 사용.)5.G.B.4성질에 따라 평면 도형을 위계적으로 분류 ($\triangle OAE, \triangle OAG, \triangle OGI$ 의 두 변이 같은 원의 반지름이므로 이등변삼각형임을 인식하는 데 사용.)8.G.A.5삼각형의 내각합·외각에 대한 사실을 비형식적 논증으로 확립 (반지름으로 만들어진 이등변삼각형들의 각 추적을 통해, 원 위의 각($x, y$)이 각각 그에 대응하는 중심각의 절반($60^\circ \to 30^\circ$, $120^\circ \to 60^\circ$)임을 보이는 데 사용.)
⭐ 각의 꼭짓점이 원 위에 있을 때, 그 두 변까지 반지름을 그어 보면 이등변삼각형이 두 개 생기고 — 삼각형 내각합만으로 그 각이 "받침이 되는 호의 절반" 이라는 사실이 자연스럽게 나옵니다.
⭐ 각의 꼭짓점이 원 위에 있을 때, 그 두 변까지 반지름을 그어 보면 이등변삼각형이 두 개 생기고 — 삼각형 내각합만으로 그 각이 "받침이 되는 호의 절반" 이라는 사실이 자연스럽게 나옵니다.
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