AMC 8 · 2015 · #17

학년 8 rate-ratioalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

ratesystems-of-equationsunit-conversion convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticlinear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

제레미(Jeremy)의 아빠는 출퇴근 정체 시간에 제레미를 학교까지 $20$ 분에 데려다 줍니다. 어느 날은 길에 차가 없어서 아빠가 시속을 $18$ 마일 더 높여 운전할 수 있었고, $12$ 분 만에 학교에 도착했습니다. 학교까지의 거리는 몇 마일일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 제레미의 아빠는 출퇴근 정체 시간에 제레미를 학교까지 $20$ 분에 데려다 줍니다. 어느 날은 길이 뚫려서, 아빠가 시속 $18$ 마일 더 빠르게 달릴 수 있었고 $12$ 분 만에 도착했습니다. 경로는 두 날 모두 같습니다. 학교까지 거리는 몇 마일일까요?

주어진 것: 정체 시간 이동 시간: $20$ 분; 한산할 때 이동 시간: $12$ 분; 한산할 때 속력은 정체 시간 속력보다 $18$ mph 빠름; 두 날 모두 거리는 같음; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $12$ (마일)

구하는 것: 집에서 학교까지의 편도 거리 $d$ (마일)

이해

계획

주요 도구: #5 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

모르는 양이 두 개 — 거리 $d$ 와 정체 시간 속력 $v$ — 인데 문제는 $d$ 만 묻습니다. 도구 #5(변수 도입하기) 는 둘 다 문자로 두고, 두 상황을 식으로 옮긴 뒤($d = v \cdot t_1$, $d = (v+18) \cdot t_2$), 공통 거리 $d$ 로 $v$ 를 소거해서 $d$ 를 구하라고 알려 줍니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 시간은 분, 속력은 mph 라는 함정을 처리합니다 — $20$ 분과 $12$ 분을 먼저 시간으로 바꿔야 $r \cdot t$ 가 마일 단위로 나옵니다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 1

두 이동 시간을 분에서 시간 단위로 환산해 mph 와 단위를 맞춥니다.
$20$ 분 $= \tfrac{20}{60} = \tfrac{1}{3}$ 시간, $12$ 분 $= \tfrac{12}{60} = \tfrac{1}{5}$ 시간.

$$t_1 = \tfrac{20}{60} = \tfrac{1}{3} \text{ 시간}, \quad t_2 = \tfrac{12}{60} = \tfrac{1}{5} \text{ 시간}$$

💡 같은 측정 체계 안에서 분을 시간으로 환산하는 것은 5학년 "표준 측정 단위 환산" 표준 그대로입니다.

#5 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

모르는 양에 이름을 붙입니다.
학교까지 거리를 $d$ (마일), 정체 시간 속력을 $v$ (mph) 로 두면 한산할 때 속력은 $v + 18$ (mph) 이 됩니다.
이것이 도구 #5 의 출발점 — 모든 양에 계산 가능한 라벨이 생겼습니다.

$$d = \text{학교까지 거리}, \quad v = \text{정체 시간 속력 (mph)}, \quad v+18 = \text{한산할 때 속력}$$

💡 두 미지수를 문자로 두는 것은 6학년 "변수로 수를 나타내기" 그대로입니다.

#5 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 3

각 날의 거리 식을 $d = r \cdot t$ 로 씁니다.
정체 시간: $d = v \cdot \tfrac{1}{3}$.
한산할 때: $d = (v+18) \cdot \tfrac{1}{5}$.
같은 경로이므로 양쪽의 $d$ 는 같은 값입니다.

$$d = \tfrac{v}{3}, \qquad d = \tfrac{v+18}{5}$$

💡 거리 $=$ 속력 $\times$ 시간 은 6학년 비율 추론의 기본 틀입니다.

#5 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 4

$d$ 에 대한 두 식을 등식으로 놓고 연립방정식을 풉니다.
분수를 정리하면 첫 식에서 $v = 3d$, 둘째 식에서 $5d = v + 18$ 을 얻고, 대입하면 $5d = 3d + 18$, 즉 $2d = 18$ 이 됩니다.

$$\tfrac{v}{3} = \tfrac{v+18}{5} \;\Rightarrow\; 5v = 3v + 54 \;\Rightarrow\; v = 27, \quad d = \tfrac{27}{3} = 9$$

💡 $2 \times 2$ 일차 연립방정식을 대입법으로 푸는 것은 8학년 "연립방정식" 표준입니다.

#5 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 5

답을 읽어 냅니다.
학교까지 거리는 $d = 9$ 마일이고, 선택지 (D) 와 일치합니다.
(참고로 정체 시간 속력은 $v = 27$ mph, 한산할 때 속력은 $45$ mph 로 둘 다 현실적인 값입니다.)

$$d = 9 \text{ 마일} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 연립방정식의 해를 원래 문장제의 답으로 옮기는 단계로 도구 #5 가 완결됩니다.

[1] #8 5.MD.A.1 두 이동 시간을 분에서 시간 단위로 환산해 mph 와 단위를 맞춥니다. $20$ 분 $= \tfrac{20}{60} = \tfrac{1}{3}$

[2] #5 6.EE.B.6 모르는 양에 이름을 붙입니다. 학교까지 거리를 $d$ (마일), 정체 시간 속력을 $v$ (mph) 로 두면 한산할 때 속력은 $v + 18$

[3] #5 6.RP.A.3 각 날의 거리 식을 $d = r \cdot t$ 로 씁니다. 정체 시간: $d = v \cdot \tfrac{1}{3}$. 한산할 때: $d =

[4] #5 8.EE.C.8 $d$ 에 대한 두 식을 등식으로 놓고 연립방정식을 풉니다. 분수를 정리하면 첫 식에서 $v = 3d$, 둘째 식에서 $5d = v + 18$

[5] #5 8.EE.C.8 답을 읽어 냅니다. 학교까지 거리는 $d = 9$ 마일이고, 선택지 (D) 와 일치합니다. (참고로 정체 시간 속력은 $v = 27$ mph,

검토

합리성 확인: $d = 9$ 마일로 양쪽 상황을 확인합니다. 정체 시간: $v = 27$ mph $\times \tfrac{1}{3}$ 시간 $= 9$ 마일. 한산할 때: $v + 18 = 45$ mph $\times \tfrac{1}{5}$ 시간 $= 9$ 마일. 둘 다 맞고, 정체 시 $27$ mph, 한산할 때 $45$ mph 는 실제 도로 속도로도 자연스러운 값이라 안심할 수 있습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입합니다. $d$ 를 정하면 정체 속력은 $3d$, 한산할 때 속력은 $5d$ 가 되므로 두 속력의 차이는 $5d - 3d = 2d$. 이것이 $18$ 과 같아야 하므로 $d = 9$, 바로 (D) 가 됩니다. 다른 선택지는 차이가 $8, 12, 16, 24$ 로 $18$ 과 맞지 않습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.MD.A.1 같은 측정 체계 안에서 단위가 다른 표준 측정 단위 환산 (속력 단위 mph 에 맞추기 위해 $20$ 분을 $\tfrac{1}{3}$ 시간, $12$ 분을 $\tfrac{1}{5}$ 시간으로 환산.)
6.EE.B.6 실생활 문제 해결에서 변수로 수를 나타내고 식 세우기 (거리 $d$ 와 정체 시간 속력 $v$ 를 문자로 두고, 한산할 때 속력을 $v + 18$ 로 표현.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (각 상황에 $\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}$ 을 적용해 $d = \tfrac{v}{3}$ 와 $d = \tfrac{v+18}{5}$ 를 세움.)
8.EE.C.8 두 일차방정식의 연립을 분석하고 풀기 ($d$ 와 $v$ 에 대한 $2 \times 2$ 일차 연립방정식을 대입법으로 풀어 $v = 27$, $d = 9$ 를 얻음.)

⭐ 모르는 양을 문자로 두고, 상황별로 식을 한 개씩 세운 다음, 같은 거리라는 점으로 연결해서 푸는 것 — 이것이 8학년 연립방정식의 핵심 동작이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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