AMC 8 · 2015 · #25

• 십자 모양을 모눈종이에 그려 봅니다.
• $5 \times 5$ 정사각형의 네 모퉁이에서 $1 \times 1$ 칸을 지우면, 가운데에 꼭짓점이 $(1,1), (4,1), (4,4), (1,4)$ 인 작은 정사각형이 자연스럽게 생기는데, 이 네 점이 바로 "홈" 의 안쪽 꼭짓점입니다.

💡 모눈종이에 그려 보면 "$5$ 칸 중 양 끝 $1$ 칸씩 잘리고 가운데 $3$ 칸" 이 바로 보입니다.

• 이번엔 십자 모양 안에 들어가는 가장 큰 기울어진 정사각형을 그립니다.
• 네 꼭짓점은 십자 모양 안에서 중심으로부터 가장 멀리 떨어진 점들이어야 하는데, 그 위치가 바로 네 홈의 안쪽 모서리 — 즉 십자 긴 변의 중간 지점입니다.
• 네 점 $(1,5), (5,4), (4,0), (0,1)$ 을 이으면 가장 큰 정사각형이 나옵니다.

💡 꼭짓점을 좌표평면에 직접 찍어 보는 것은 5학년 좌표 표기 그대로입니다.

• 쪼개기.
• 이 기울어진 정사각형 안에는 1단계의 똑바른 $3 \times 3$ 정사각형이 그대로 들어 있고, 나머지는 네 변 바깥쪽에 붙는 합동인 직각삼각형 $4$ 개입니다.
• 각 삼각형은 밑변이 $3$ (가운데 정사각형의 한 변), 높이가 $1$ (홈의 깊이) 입니다.

💡 기울어진 다각형을 똑바른 사각형 + 직각삼각형들로 쪼개는 것은 6학년 "넓이를 부분으로 나눠 구하기" 전략입니다.

가운데 정사각형의 넓이를 계산합니다.

💡 정사각형 넓이 = 한 변 $\times$ 한 변, 3학년 넓이 공식 그대로입니다.

• 네 직각삼각형의 넓이를 계산합니다.
• 각 삼각형은 두 직각변이 $3$ 과 $1$ 이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \tfrac{3}{2}$, 그게 $4$ 개입니다.

💡 두 직각변이 $b$ 와 $h$ 인 직각삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2}bh$ — 6학년.

조각들을 더합니다.

💡 겹치지 않는 부분들의 넓이를 합하는 것은 3학년 "넓이의 가법성" 입니다.