AMC 8 · 2017 · #16
학년 6 geometry-2dalgebra문제
아래 그림에서, △ACD 와 △ABD 의 둘레의 길이가 같아지도록 BC 위에 점 D 를 잡습니다. △ABD 의 넓이는 얼마입니까?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 직각삼각형 $ABC$ 가 있고, 직각은 꼭짓점 $A$ 에 있으며 두 변 $AC = 3$, $AB = 4$, 빗변 $BC = 5$ 입니다. 빗변 $\overline{BC}$ 위에 점 $D$ 를 잡되 두 작은 삼각형 $\triangle ACD$ 와 $\triangle ABD$ 의 둘레가 같아지도록 합니다. 이때 $\triangle ABD$ 의 넓이를 구하시오.
주어진 것: 직각삼각형의 두 변 $AC = 3$, $AB = 4$, 빗변 $BC = 5$ (직각은 꼭짓점 $A$); 점 $D$ 는 $\overline{BC}$ 위에 있으므로 $BD + DC = 5$; $\triangle ACD$ 의 둘레와 $\triangle ABD$ 의 둘레가 같음; 선택지: (A) $\tfrac{3}{4}$, (B) $\tfrac{3}{2}$, (C) $2$, (D) $\tfrac{12}{5}$, (E) $\tfrac{5}{2}$
구하는 것: $\triangle ABD$ 의 넓이
이해
문제 재정리: 직각삼각형 $ABC$ 가 있고, 직각은 꼭짓점 $A$ 에 있으며 두 변 $AC = 3$, $AB = 4$, 빗변 $BC = 5$ 입니다. 빗변 $\overline{BC}$ 위에 점 $D$ 를 잡되 두 작은 삼각형 $\triangle ACD$ 와 $\triangle ABD$ 의 둘레가 같아지도록 합니다. 이때 $\triangle ABD$ 의 넓이를 구하시오.
주어진 것: 직각삼각형의 두 변 $AC = 3$, $AB = 4$, 빗변 $BC = 5$ (직각은 꼭짓점 $A$); 점 $D$ 는 $\overline{BC}$ 위에 있으므로 $BD + DC = 5$; $\triangle ACD$ 의 둘레와 $\triangle ABD$ 의 둘레가 같음; 선택지: (A) $\tfrac{3}{4}$, (B) $\tfrac{3}{2}$, (C) $2$, (D) $\tfrac{12}{5}$, (E) $\tfrac{5}{2}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #6 추측하고 확인하기
"$\triangle ABD$ 의 넓이" 라는 큰 질문은 세 개의 작은 질문으로 깔끔하게 쪼개집니다 (도구 #7): (가) $D$ 가 $\overline{BC}$ 위 어디에 있는가? (나) 전체 직각삼각형 $\triangle ABC$ 의 넓이는? (다) 그 넓이의 몇 분의 몇이 $\triangle ABD$ 의 몫인가? 도구 #1(그림 그리기)은 (가)를 받쳐 줍니다 — 주어진 도형 위에 $BD$, $CD$ 라벨을 붙이면 공통 변 $AD$ 가 두 둘레에서 약분된다는 사실이 한눈에 보여서, 둘레 조건이 $BD$ 와 $CD$ 만의 간단한 식으로 바뀝니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 "두 조각의 합이 $5$, 차이가 $1$" 인 상황을 정식 대수 없이 바로 해결해 줍니다 — 초등 학습자에게 가장 자연스러운 길입니다.
실행 — 정답: D
4.G.A.1 단계 1 - 도형을 보면서 라벨을 채워 봅니다.
- 삼각형 $ABC$ 는 꼭짓점 $A$ 에서 직각을 이루고 두 변이 $AC = 3$, $AB = 4$, 빗변이 $BC = 5$ 입니다.
- 빗변 $\overline{BC}$ 위에 점 $D$ 를 찍고 두 미지 길이 $BD$, $CD$ 를 표시합니다.
- 그러면 두 작은 삼각형이 공통으로 가지는 선분 $AD$ (꼭짓점 $A$ 에서 $D$ 까지의 선분)가 자연스럽게 드러납니다.
💡 도형 위에 점·선분·공통 선분을 표시하는 작업은 4학년 "도형 속에서 점, 선, 선분 등을 식별" 표준 그대로입니다.
3.MD.D.8 단계 2 - 두 삼각형의 둘레식을 적고 공통 변을 양변에서 지웁니다.
- $\triangle ACD$ 의 둘레는 $AC + CD + AD$, $\triangle ABD$ 의 둘레는 $AB + BD + AD$.
- 두 식이 같다고 놓으면 $AD$ 가 약분되어 $AC + CD = AB + BD$, 즉 $3 + CD = 4 + BD$ 가 되고 정리하면 $CD = BD + 1$ 입니다.
💡 다각형의 세 변을 더해 둘레를 구하는 것은 3학년 다각형 둘레 표준이고, 같은 변을 양변에서 지우는 것은 "같은 것을 빼면 같은 것" 정도의 기본 등식 다루기입니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 이제 두 조건 $BD + CD = 5$, $CD = BD + 1$ 로 $BD$ 를 찾습니다.
- 추측하고 확인해 봅시다 — $BD = 2$ 라고 가정하면 $CD = 3$ 이고 $2 + 3 = 5$, 차이는 $1$ 로 두 조건이 모두 맞습니다.
- 따라서 $BD = 2$, $CD = 3$ 입니다.
💡 "합이 $5$, 차이가 $1$ 인 두 자연수를 찾아라" 는 4학년 수준의 한 줄짜리 다단계 문장제입니다.
6.G.A.1 단계 4 - 큰 직각삼각형 $\triangle ABC$ 의 넓이를 구합니다.
- 직각을 이루는 두 변 $AB = 4$ 와 $AC = 3$ 을 각각 밑변·높이로 보면 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ 입니다.
💡 삼각형의 넓이 $= \tfrac{1}{2} \times$ 밑변 $\times$ 높이 공식은 6학년 평면도형 넓이 표준입니다.
6.RP.A.3 단계 5 - 공통 높이 원리를 사용합니다.
- $\triangle ABD$ 와 $\triangle ABC$ 는 둘 다 꼭짓점이 $A$ 이고 밑변이 같은 직선 $BC$ 위에 놓이므로, $A$ 에서 $BC$ 까지 내린 높이가 같습니다.
- 두 삼각형이 높이를 공유하면 넓이의 비는 밑변의 비와 같습니다: $\text{넓이}(\triangle ABD) : \text{넓이}(\triangle ABC) = BD : BC = 2 : 5$.
💡 같은 높이를 공유하는 두 넓이 조각을 비교하는 것은 6학년 비율·비례 추론의 전형적인 활용입니다.
5.NF.B.6 단계 6 - 마지막으로 곱셈으로 넓이를 구합니다: $\text{넓이}(\triangle ABD) = \tfrac{2}{5} \cdot 6 = \tfrac{12}{5}$.
- 이는 선택지 (D) 에 해당합니다.
💡 $6$ 의 $\tfrac{2}{5}$ 를 구하는 것은 5학년 "분수와 자연수의 곱셈" 그대로입니다.
4.G.A.1 도형을 보면서 라벨을 채워 봅니다. 삼각형 $ABC$ 는 꼭짓점 $A$ 에서 직각을 이루고 두 변이 $AC = 3$, $AB = 4$, 빗변이 3.MD.D.8 두 삼각형의 둘레식을 적고 공통 변을 양변에서 지웁니다. $\triangle ACD$ 의 둘레는 $AC + CD + AD$, $\triangle 4.OA.A.3 이제 두 조건 $BD + CD = 5$, $CD = BD + 1$ 로 $BD$ 를 찾습니다. 추측하고 확인해 봅시다 — $BD = 2$ 라고 가 6.G.A.1 큰 직각삼각형 $\triangle ABC$ 의 넓이를 구합니다. 직각을 이루는 두 변 $AB = 4$ 와 $AC = 3$ 을 각각 밑변·높이로 6.RP.A.3 공통 높이 원리를 사용합니다. $\triangle ABD$ 와 $\triangle ABC$ 는 둘 다 꼭짓점이 $A$ 이고 밑변이 같은 직선 $ 5.NF.B.6 마지막으로 곱셈으로 넓이를 구합니다: $\text{넓이}(\triangle ABD) = \tfrac{2}{5} \cdot 6 = \tfrac{1 검토
합리성 확인: 답의 크기를 가늠해 봅시다. 전체 직각삼각형의 넓이는 $6$ 이고 $BD = 2$ 는 $BC = 5$ 의 절반보다 작으므로 $\triangle ABD$ 의 넓이도 전체의 절반 $3$ 보다 작아야 합니다. 우리가 구한 $\tfrac{12}{5} = 2.4$ 는 $3$ 보다 작으면서도 정확히 전체의 $\tfrac{2}{5}$ 입니다. 게다가 $\tfrac{12}{5} + \text{넓이}(\triangle ACD) = 6$ 이므로 $\text{넓이}(\triangle ACD) = \tfrac{18}{5}$, 두 넓이의 비 $\tfrac{12}{5} : \tfrac{18}{5} = 2 : 3 = BD : CD$ 로 공통 높이 논증과 정확히 들어맞습니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 직접 풀면: $BD = x$ 라 하면 $CD = 5 - x$ 이고 둘레 조건 $3 + (5 - x) = 4 + x$ 를 정리하면 $8 - x = 4 + x \;\Rightarrow\; x = 2$. 그 뒤에 4 ~ 6단계와 같이 넓이를 계산하면 됩니다. 대수가 더 깔끔하지만, 위의 추측-확인 경로는 초등 학습자에게 더 빠르고 변수 도입 없이 풀 수 있어 자연스럽습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.G.A.1도형 속에서 점, 선, 선분, 반직선, 각을 그리고 식별 (빗변 $\overline{BC}$ 위에 점 $D$ 를 표시하고 새로 생긴 두 선분 $BD$, $CD$ 와 공통 선분 $AD$ 를 도형 위에 라벨링.)3.MD.D.8다각형의 둘레와 관련된 실생활 문제 해결 ($\triangle ACD$ 와 $\triangle ABD$ 의 둘레를 각각 세 변의 합으로 쓰고 공통 변 $AD$ 를 약분해 $3 + CD = 4 + BD$ 를 얻는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 활용한 자연수 다단계 문장제 해결 (합이 $5$ 이고 차이가 $1$ 인 두 자연수 길이를 찾아 $BD = 2$, $CD = 3$ 을 결정.)6.G.A.1삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이 구하기 (직각삼각형 $\triangle ABC$ 의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ 으로 계산.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (두 삼각형이 꼭짓점 $A$ 에서 내린 높이를 공유한다는 사실로부터 넓이의 비 $\text{넓이}(\triangle ABD) : \text{넓이}(\triangle ABC)$ 를 밑변의 비 $BD : BC = 2 : 5$ 와 같다고 설정.)5.NF.B.6분수와 대분수의 곱셈을 포함한 실생활 문제 해결 ($\tfrac{2}{5} \cdot 6 = \tfrac{12}{5}$ 의 분수 곱셈으로 $\triangle ABD$ 의 최종 넓이를 추출.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비 $=$ 밑변의 비" 라는 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비 $=$ 밑변의 비" 라는 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!
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