AMC 8 · 2017 · #3

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

perfect-squaresexponentsorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

식 $\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}$ 의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$4\sqrt{2}$

(C)

(D)

$8\sqrt{2}$

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 겹으로 포개진 제곱근 식 $\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}$ 의 값을 간단히 하여 선택지 (A) $4$, (B) $4\sqrt{2}$, (C) $8$, (D) $8\sqrt{2}$, (E) $16$ 중 알맞은 것을 고르는 문제입니다.

주어진 것: 식은 세 겹의 제곱근으로 이루어져 있다 — $\sqrt{16\sqrt{8\sqrt{4}}}$; 근호 안의 상수는 $4$, $8$, $16$ 이며, 이 중 $4$ 와 $16$ 은 완전제곱수다; 선택지: $4,\;4\sqrt{2},\;8,\;8\sqrt{2},\;16$

구하는 것: 식의 정확한 값과 그에 해당하는 선택지 알파벳

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #3 가능성 지우기

근호가 세 겹이라 복잡해 보이지만, "근호 하나를 풀고, 그 값을 바깥쪽 근호 안에 다시 넣기" 라는 똑같은 작업이 세 번 반복될 뿐입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)으로 큰 식을 세 개의 작은 제곱근 문제로 나눕니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)에 따르면 출발점은 *가장 안쪽* 근호 — 안쪽이 깔끔한 숫자로 정리돼야 그 바깥을 만질 수 있기 때문입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 예비 검산용입니다: 선택지가 "정수" 와 "정수 $\times \sqrt{2}$" 로 갈리므로, 각 층의 근호 안이 완전제곱수가 되면 결과는 깨끗한 정수가 되어 (B) 와 (D) 를 자동으로 지울 수 있습니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 1

작은 문제 1 — 가장 안쪽 제곱근부터 벗깁니다.
맨 안쪽은 $\sqrt{4}$ 인데, $4 = 2 \times 2$ 이므로 $\sqrt{4} = 2$ 입니다.

$$\sqrt{4} = 2$$

💡 $\sqrt{4} = 2$ 라는 사실은 제곱근 기호의 정의를 그대로 쓰는 것 — 이것이 8학년 "제곱근 기호" 표준입니다.

#11 거꾸로 풀기 3.OA.C.7 단계 2

구한 값을 가운데 근호 안에 대입해 정리합니다.
$\sqrt{4}$ 를 $2$ 로 바꾸면 가운데 층은 $\sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16}$ 이 됩니다.

$$\sqrt{8 \sqrt{4}} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16}$$

💡 근호 안의 $8 \times 2 = 16$ 은 3학년 곱셈 구구단 그 자체로 끝나는 계산입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 3

작은 문제 2 — 가운데 제곱근을 계산합니다.
$16 = 4 \times 4$ 이므로 $\sqrt{16} = 4$.

$$\sqrt{16} = 4$$

💡 $16$ 을 완전제곱수로 알아보고 그 제곱근을 취하는 것은 같은 8학년 제곱근 표준이 다시 한 번 쓰이는 장면입니다.

#11 거꾸로 풀기 3.OA.C.7 단계 4

이 결과를 가장 바깥 근호 안에 다시 대입하면 식 전체는 $\sqrt{16 \cdot 4} = \sqrt{64}$ 로 줄어듭니다.

$$\sqrt{16 \sqrt{8 \sqrt{4}}} = \sqrt{16 \cdot 4} = \sqrt{64}$$

💡 $16 \times 4 = 64$ 또한 한 자리 수 곱셈의 연장으로 3학년 구구단 숙달 범위 안에 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 5

작은 문제 3 — 가장 바깥 제곱근을 계산합니다.
$64 = 8 \times 8$ 이므로 최종 값은 $\sqrt{64} = 8$, 곧 선택지 (C) 입니다.

$$\sqrt{64} = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $8 \times 8 = 64$ 가 완전제곱이므로 그 제곱근은 정확히 $8$ — 8학년 제곱근 기호의 사용입니다.

[1] #7 8.EE.A.2 작은 문제 1 — 가장 안쪽 제곱근부터 벗깁니다. 맨 안쪽은 $\sqrt{4}$ 인데, $4 = 2 \times 2$ 이므로 $\sqrt{4}

[2] #11 3.OA.C.7 구한 값을 가운데 근호 안에 대입해 정리합니다. $\sqrt{4}$ 를 $2$ 로 바꾸면 가운데 층은 $\sqrt{8 \cdot 2} = \sq

[3] #7 8.EE.A.2 작은 문제 2 — 가운데 제곱근을 계산합니다. $16 = 4 \times 4$ 이므로 $\sqrt{16} = 4$.

[4] #11 3.OA.C.7 이 결과를 가장 바깥 근호 안에 다시 대입하면 식 전체는 $\sqrt{16 \cdot 4} = \sqrt{64}$ 로 줄어듭니다.

[5] #7 8.EE.A.2 작은 문제 3 — 가장 바깥 제곱근을 계산합니다. $64 = 8 \times 8$ 이므로 최종 값은 $\sqrt{64} = 8$, 곧 선택지 (

검토

합리성 확인: 근호 안이 매 층마다 완전제곱수($4$, $16$, $64$)로 떨어졌으므로 답은 깔끔한 정수여야 합니다. 따라서 $\sqrt{2}$ 가 붙은 (B), (D) 는 후보에서 즉시 제거됩니다. 남는 $4,\;8,\;16$ 중 답 $8$ 은 한가운데 값으로, 큰 수($16$)를 제곱근으로 압축할수록 값이 줄어드는 경향과 일치하며, 안쪽 결과 $\sqrt{4}=2$ 와 바깥 상수 $16$ 사이에 잘 끼어 있는 합리적 크기입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 과 지수 법칙을 활용한 방법도 있습니다. $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 으로 다시 쓰면 맨 안쪽은 $4^{1/2}$, 가운데는 $(8 \cdot 4^{1/2})^{1/2} = 8^{1/2} \cdot 4^{1/4} = 2^{3/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{2} = 4$, 바깥은 $(16 \cdot 4)^{1/2} = 64^{1/2} = 8$. 대입 방식 대신 지수 계산만으로도 같은 답 (C) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

3.OA.C.7 $100$ 이내의 곱셈과 나눗셈 능숙하게 수행 (근호 안 곱셈 $8 \times 2 = 16$ 과 $16 \times 4 = 64$ — 모두 $100$ 이내의 단순한 구구단 계산.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호를 사용하여 해를 표현 (세 번의 제곱근 계산 $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{64} = 8$ — 각 근호 안 값을 완전제곱수로 알아보고 제곱근 기호의 정의를 적용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 제곱근 기호 $\sqrt{\;}$ 만 알면 풀 수 있어요 — $\sqrt{4}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{64}$ 만 익혀 두면 나머지는 이미 외운 구구단으로 끝나거든요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

비슷한 유형 더 풀어보기