AMC 8 · 2018 · #17

학년 5 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

rateratio-proportionunit-conversion dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportionunit-conversion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

벨라는 자기 집에서 친구 엘라의 집을 향해 걷기 시작합니다. 같은 시각에 엘라도 벨라의 집을 향해 자전거를 타고 출발합니다. 두 사람은 모두 일정한 속력을 유지하며, 엘라는 벨라가 걷는 속력의 $5$ 배로 자전거를 탑니다. 두 집 사이의 거리는 $2$ 마일이며 이는 $10{,}560$ 피트이고, 벨라는 한 걸음에 $2 \tfrac{1}{2}$ 피트씩 걷습니다. 벨라가 엘라를 만날 때까지 걷는 걸음 수는 몇 걸음입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

704

(B)

845

(C)

1056

(D)

1760

(E)

3520

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 벨라는 자기 집에서 친구 엘라의 집을 향해 걷기 시작하고, 같은 순간에 엘라는 벨라의 집을 향해 자전거를 타기 시작합니다. 엘라가 자전거를 타는 속도는 벨라가 걷는 속도의 $5$ 배이고, 벨라는 한 걸음에 $2 \tfrac{1}{2}$ 피트를 갑니다. 두 집 사이는 $2$ 마일($10{,}560$ 피트) 떨어져 있을 때, 벨라가 엘라와 만나는 순간까지 몇 걸음을 걷게 될까요?

주어진 것: 두 집 사이 거리 $= 2$ 마일 $= 10{,}560$ 피트; 벨라의 한 걸음 $= 2 \tfrac{1}{2} = 2.5$ 피트; 엘라의 속도 $=$ 벨라 속도의 $5$ 배; 둘 다 동시에 출발해 서로를 향해 일정한 속도로 이동; 선택지: (A) $704$, (B) $845$, (C) $1056$, (D) $1760$, (E) $3520$

구하는 것: 출발부터 엘라와 만나는 순간까지 벨라가 내딛는 걸음 수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

실제 속도(mph)도, 만나기까지 걸리는 시간도 문제에 주어지지 않으므로 "시간"을 변수로 쓰면 오히려 복잡해집니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 써서 까다로운 단위인 "시간" 을 더 친절한 단위인 "벨라의 한 걸음(이 걸리는 시간)" 으로 바꿔 봅시다. 벨라의 한 걸음 동안 벨라는 $2.5$ 피트, 엘라는 $5$ 배 빠르므로 $5 \times 2.5 = 12.5$ 피트를 이동합니다 — 즉 벨라가 한 걸음 뗄 때마다 두 사람 사이 거리가 일정한 양만큼 줄어듭니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 이 정리를 깔끔하게 마무리해 줍니다: 전체 피트를 "피트/걸음" 으로 나누면 단위가 약분되어 "걸음" 만 남고, 이는 문제가 요구하는 답의 단위와 정확히 같습니다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NF.C.6 단계 1

추상적인 시계 대신 더 쉬운 시간 단위를 도입합니다 — "벨라의 한 걸음." 이 한 걸음 동안 벨라는 자기의 한 걸음 길이인 $2.5$ 피트를 갑니다.

$$\text{벨라의 한 걸음당 이동 거리} = 2.5 \text{ 피트}$$

💡 대분수 $2 \tfrac{1}{2}$ 을 소수 $2.5$ 로 바꾸는 것은 4학년 "분수 → 소수" 표기 변환입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.2 단계 2

같은 "벨라의 한 걸음" 시간 동안, 엘라는 $5$ 배 빠르므로 벨라의 $5$ 배 거리를 이동합니다.
"$5$ 배 빠르다" 는 곱셈적 비교(multiplicative comparison) 표현입니다.

$$\text{엘라의 (벨라 한 걸음당) 이동 거리} = 5 \times 2.5 = 12.5 \text{ 피트}$$

💡 "$N$ 배 빠르다 $=$ 같은 시간에 $N$ 배 거리" 는 4학년 곱셈적 비교의 정석입니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 3

두 사람이 서로를 향해 다가오므로 한 걸음마다 둘 사이 거리는 두 사람이 같은 시간에 이동한 거리의 합만큼 줄어듭니다.
두 소수를 더해 한 걸음당 줄어드는 거리를 구합니다.

$$\text{한 걸음당 줄어드는 거리} = 2.5 + 12.5 = 15 \text{ 피트}$$

💡 소수점 둘째 자리까지의 소수 둘을 더해 $15.0$ 을 얻는 것은 5학년 소수 사칙연산 표준입니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.6 단계 4

처음 거리 $10{,}560$ 피트가 모두 줄어드는 순간까지 벨라는 걸음을 계속 내딛습니다.
총 피트를 "피트/걸음" 으로 나누면 "피트" 단위가 약분되어 "걸음" 만 남는데, 이것이 문제가 묻는 답입니다.

$$\dfrac{10{,}560 \text{ 피트}}{15 \text{ 피트/걸음}} = 704 \text{ 걸음} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $4$ 자리 수를 $2$ 자리 수로 나누는 것은 5학년 "네 자리 ÷ 두 자리" 표준이고, 단위 추적으로 답이 "걸음" 임이 보장됩니다.

[1] #9 4.NF.C.6 추상적인 시계 대신 더 쉬운 시간 단위를 도입합니다 — "벨라의 한 걸음." 이 한 걸음 동안 벨라는 자기의 한 걸음 길이인 $2.5$ 피트를

[2] #9 4.OA.A.2 같은 "벨라의 한 걸음" 시간 동안, 엘라는 $5$ 배 빠르므로 벨라의 $5$ 배 거리를 이동합니다. "$5$ 배 빠르다" 는 곱셈적 비교(mu

[3] #8 5.NBT.B.7 두 사람이 서로를 향해 다가오므로 한 걸음마다 둘 사이 거리는 두 사람이 같은 시간에 이동한 거리의 합만큼 줄어듭니다. 두 소수를 더해 한 걸음

[4] #8 5.NBT.B.6 처음 거리 $10{,}560$ 피트가 모두 줄어드는 순간까지 벨라는 걸음을 계속 내딛습니다. 총 피트를 "피트/걸음" 으로 나누면 "피트" 단위

검토

합리성 확인: 크기로 검산해 봅시다. 두 사람이 합쳐서 벨라의 한 걸음($2.5$ 피트)당 $15$ 피트를 줄이므로, 그 중 벨라가 직접 걷는 비율은 $\tfrac{2.5}{15} = \tfrac{1}{6}$ 입니다. 즉 벨라는 전체 $10{,}560$ 피트의 $\tfrac{1}{6}$ 인 약 $1{,}760$ 피트(약 $\tfrac{1}{3}$ 마일)만 걷고, 한 걸음 $2.5$ 피트로 환산하면 $1{,}760 / 2.5 = 704$ 걸음 — 정확히 (A) 입니다. 비율 직관과도 일치합니다: 엘라가 $5$ 배 빠르면 벨라는 전체 거리의 $\tfrac{1}{1+5} = \tfrac{1}{6}$ 만 책임집니다. 선택지 (D) $1760$ 은 "벨라가 걷는 피트 수" 와 "벨라의 걸음 수" 를 혼동시키는 함정, (E) $3520$ 은 속도 비율을 빼고 $1$ 마일만 쓰는 함정입니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 만나는 시각을 $t$, 벨라의 속도를 $v$(ft/sec)라 두면 벨라는 $vt$, 엘라는 $5vt$ 피트를 이동하므로 $vt + 5vt = 10{,}560 \;\Rightarrow\; vt = 1{,}760$ 피트. 따라서 벨라의 걸음 수는 $1{,}760 / 2.5 = 704$ 입니다. 답은 같지만 변수가 두 개나 등장해 번거롭고, "벨라 한 걸음 = 시간 단위" 로 재구성하면 변수 없이 풀려서 훨씬 가볍습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.NF.C.6 분모가 $10$ 또는 $100$ 인 분수를 소수 표기로 나타내기 (벨라의 한 걸음 길이를 대분수 $2 \tfrac{1}{2}$ 에서 소수 $2.5$ 피트로 바꿔, 이후 계산을 깔끔하게 만드는 데 사용.)
4.OA.A.2 곱셈적 비교를 포함한 문장제를 곱셈·나눗셈으로 해결 ("엘라는 벨라보다 $5$ 배 빠르다" 를 "같은 시간 동안 엘라는 벨라의 $5$ 배 거리인 $5 \times 2.5 = 12.5$ 피트를 이동한다" 는 곱셈적 비교로 옮기는 데 사용.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 소수 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈 (벨라의 한 걸음당 두 사람의 이동 거리를 더해 $2.5 + 12.5 = 15$ 피트를 구하는 소수 덧셈에 사용.)
5.NBT.B.6 네 자리 피제수, 두 자리 제수의 자연수 몫 구하기 (총 거리 $10{,}560$ 피트를 한 걸음당 줄어드는 거리 $15$ 피트로 나눠 $704$ 걸음을 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 소수 사칙연산과 "$N$ 배 빠르다" 곱셈 비교만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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