AMC 8 · 2022 · #22

학년 5 rate-ratiologic

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Staggered Start or Schedule Table

ratepattern-recognitionlogical-deduction physical-representationcasework ↑ 선수 지식: ratelogical-deduction

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

어떤 버스는 한 정류장에서 다음 정류장까지 가는 데 $2$ 분이 걸리며, 각 정류장에서 승객이 타도록 $1$ 분 동안 정차합니다. 지아(Zia)는 한 정류장에서 다음 정류장까지 걸어가는 데 $5$ 분이 걸립니다. 지아가 어떤 정류장에 도착했을 때, 버스가 바로 이전 정류장에 있거나 이미 이전 정류장에서 출발한 상태라면 그녀는 그 정류장에서 버스를 기다립니다. 그렇지 않으면 다음 정류장을 향해 계속 걷습니다. 버스와 지아가 동시에 도서관을 향해 출발하고, 버스가 지아보다 $3$ 정류장 뒤에서 출발한다고 합시다. 지아가 버스를 타게 되는 것은 출발한 지 몇 분 후입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 버스는 $0$번 정류장에, 지아는 $3$번 정류장에 $t=0$ 에 동시에 서서 도서관 쪽으로 출발합니다. 버스는 한 정류장에서 다음 정류장까지 $2$ 분간 달리고 각 정류장에서 $1$ 분간 정차합니다. 지아는 한 정류장에서 다음 정류장까지 걸어가는 데 $5$ 분이 걸립니다. 지아는 새 정류장에 도착할 때마다 뒤를 돌아봐서, 바로 뒤 정류장에 버스가 이미 도착했거나 떠난 상태라면 그 자리에서 기다리고, 그렇지 않으면 다음 정류장으로 계속 걸어갑니다. 지아가 처음으로 버스에 타게 되는 것은 $t=0$ 으로부터 몇 분 뒤일까요?

주어진 것: 버스가 두 정류장 사이를 달리는 시간 $= 2$ 분; 버스가 각 정류장에서 정차하는 시간 $= 1$ 분; 지아가 두 정류장 사이를 걷는 시간 $= 5$ 분; $t=0$ 에 버스는 $0$ 번, 지아는 $3$ 번 정류장에 있고 둘 다 도서관 방향으로 출발; 지아의 판단 규칙: $k$ 번 정류장에 도착한 순간 버스가 $k-1$ 번 정류장에 도착했거나 떠났으면 기다림; 선택지: (A) $17$, (B) $19$, (C) $20$, (D) $21$, (E) $23$ (분)

구하는 것: $t=0$ 부터 지아가 처음 버스에 탑승하는 순간까지의 시간(분)

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기

버스의 움직임은 매우 규칙적입니다 — $k$ 번 정류장을 떠나는 시각이 정확히 $t = 3k$ 분 ($k \ge 1$, $k=0$ 일 때는 $t=0$) 이고, 도착 시각은 $t = 3k - 1$ 입니다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 시각과 위치를 작은 표에 적어 두면, 두 사람을 머릿속에서만 추적할 때 생기는 실수를 피할 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 정류장을 점 한 줄로 외부화해서 "이전 정류장" 을 시각적으로 분명하게 만들어 줍니다. 도구 #5(패턴 찾기) 는 $t = 3k$ 라는 버스 시각표를 발견하는 데 쓰입니다. 도구 #13(대수) 은 일부러 피했습니다 — AMC 8 시뮬레이션 문제는 네 줄짜리 표 한 장이 부등식보다 훨씬 빠르고 안전합니다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

먼저 버스 시각표의 패턴을 찾습니다.
"$2$ 분 운행 $+$ $1$ 분 정차" 의 한 주기가 $3$ 분이므로 버스는 $0$ 번을 $t=0$, $1$ 번을 $t=3$, $2$ 번을 $t=6$ 에 떠나고, 일반적으로 $k$ 번 정류장을 $t = 3k$ 분에 떠납니다.
도착 시각은 그보다 $1$ 분 빠른 $t = 3k - 1$ 입니다.

$$k \text{ 번 도착}: t = 3k - 1 \quad ; \quad k \text{ 번 출발}: t = 3k$$

💡 "$2+1=3$ 분 주기" 가 반복되는 것은 주어진 규칙으로 수 패턴을 만들어 보는 4학년 표준 그 자체입니다.

#1 그림 그리기 K.G.A.1 단계 2

정류장을 점 한 줄로 그리고 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots$ 으로 번호를 매깁니다.
$t=0$ 에 버스는 $0$ 번, 지아는 $3$ 번 위에 표시합니다.
이렇게 하면 "이전 정류장" 이라는 말이 "지아 바로 왼쪽 점" 으로 분명해집니다.

$$\underbrace{\bullet}_{\text{버스, }0} \;\; \bullet_1 \;\; \bullet_2 \;\; \underbrace{\bullet}_{\text{지아, }3} \;\; \bullet_4 \;\; \bullet_5 \;\; \bullet_6 \;\; \cdots$$

💡 유치원 수준의 "왼쪽/오른쪽 위치 말하기" 만으로도 "이전 정류장" 이 모호하지 않게 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 5.OA.B.3 단계 3

지아가 결정을 내리는 순간마다 한 줄씩 표를 채웁니다.
지아는 $3, 4, 5, 6, \ldots$ 번 정류장에 $t = 0, 5, 10, 15, \ldots$ 분에 도착합니다 (한 정류장당 $5$ 분 증가).
각 줄에서 "바로 뒤 정류장을 버스가 떠나는 시각" 인 $3(k-1)$ 과 도착 시각을 비교합니다.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \text{지아 위치 } k & \text{도착 시각 } t & \text{버스가 } k-1 \text{ 번 떠나는 시각 } 3(k-1) & \text{결정} \\ \hline 3 & 0 & 6 & 0 < 6 \Rightarrow \text{걷기} \\ 4 & 5 & 9 & 5 < 9 \Rightarrow \text{걷기} \\ 5 & 10 & 12 & 10 < 12 \Rightarrow \text{걷기} \\ 6 & 15 & 15 & 15 \ge 15 \Rightarrow \text{기다림} \end{array}$$

💡 지아의 도착 시각 패턴 $0,5,10,15$ 과 버스의 "바로 뒤 정류장 출발 시각" 패턴 $6,9,12,15$ 을 나란히 비교해 처음으로 조건이 만족되는 지점을 찾는 것은 5학년 "두 수 패턴 만들고 관계 보기" 표준입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.OA.A.1 단계 4

지아는 $t = 15$ 분부터 $6$ 번 정류장에서 기다립니다.
버스는 $t = 15$ 에 $5$ 번을 떠나 $2$ 분간 달려 $6$ 번에 $t = 15 + 2 = 17$ 분에 도착합니다.
바로 이 순간이 지아가 버스에 타는 시각입니다.

$$15 + 2 = 17 \text{ 분} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 기다리기 시작한 $15$ 분에 $2$ 분 운행 시간을 더하는 것은 100 이내 한 단계 덧셈 문장제로 2학년 표준입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 먼저 버스 시각표의 패턴을 찾습니다. "$2$ 분 운행 $+$ $1$ 분 정차" 의 한 주기가 $3$ 분이므로 버스는 $0$ 번을 $t=0$,

[2] #1 K.G.A.1 정류장을 점 한 줄로 그리고 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots$ 으로 번호를 매깁니다. $t=0$ 에 버스는 $0$ 번, 지아

[3] #2 5.OA.B.3 지아가 결정을 내리는 순간마다 한 줄씩 표를 채웁니다. 지아는 $3, 4, 5, 6, \ldots$ 번 정류장에 $t = 0, 5, 10, 15

[4] #2 2.OA.A.1 지아는 $t = 15$ 분부터 $6$ 번 정류장에서 기다립니다. 버스는 $t = 15$ 에 $5$ 번을 떠나 $2$ 분간 달려 $6$ 번에 $t

검토

합리성 확인: 걷는 속도와 버스 평균 속도 비교: 지아는 한 정류장에 $5$ 분, 버스는 평균 $3$ 분이 걸리니, 평균적으로 버스가 $5/3$ 배 빠릅니다. 지아가 끝까지 걷기만 한다면 $3$ 정류장 차이를 메우는 데 대략 $3 \times 5 / (5-3) = 7.5$ 정류장 시간 $\approx 37$ 분이 걸리겠지만, 지아가 "멈춰서 기다리는" 선택을 하기 때문에 만남이 훨씬 빨라집니다. 답 $17$ 분은 선택지 $17, 19, 20, 21, 23$ 중 가장 짧은 쪽에 있어, "계속 걷는 것보다 기다리는 게 빠르다" 는 직관과 잘 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 을 *주 도구* 로 써서 시간-위치 그래프를 그릴 수도 있습니다. 가로축은 시간, 세로축은 정류장 번호로 두고, 버스의 궤적(운행 중 기울기 $1/2$, 정차 중 평평) 과 지아의 궤적(걸을 때 기울기 $1/5$, 기다릴 때 평평) 두 꺾은선을 그립니다. 두 선이 처음 만나는 점이 탑승 순간이며, 그래프상 정류장 $6$, 시간 $17$ 에서 만나 부등식 없이도 답 (A) 가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

K.G.A.1 위치를 "위, 아래, 옆, 앞" 등으로 설명하기 (정류장을 왼쪽에서 오른쪽으로 점 한 줄로 배치해서 "이전 정류장" 이 지아 바로 왼쪽 점임을 분명히 하는 데 사용.)
2.OA.A.1 100 이내의 한 단계·두 단계 덧셈·뺄셈 문장제 해결 (지아가 $6$ 번 정류장에서 기다리기 시작한 뒤 최종 탑승 시각 $15 + 2 = 17$ 분을 계산하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 ("$2$ 분 운행 $+$ $1$ 분 정차" 규칙으로부터 버스의 출발 시각 패턴 $0, 3, 6, 9, 12, 15, \ldots$ 을 만들어 내는 데 사용.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수 패턴을 만들고 그 관계 찾기 (지아의 도착 시각 패턴 $0, 5, 10, 15, \ldots$ 과 버스의 이전 정류장 출발 시각 패턴 $6, 9, 12, 15, \ldots$ 을 한 줄씩 비교해 버스 조건이 처음 충족되는 행을 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "두 가지 수 패턴을 나란히 놓고 비교하기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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