AMC 8 · 2018 · #22

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesarea-trianglesratio-proportionarea-rectangles area-differenceidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 $ABCD$ 에서 점 $E$ 는 변 $\overline{CD}$ 의 중점이며, 선분 $\overline{BE}$ 는 대각선 $\overline{AC}$ 와 점 $F$ 에서 만납니다. 사각형 $AFED$ 의 넓이가 $45$ 일 때, 정사각형 $ABCD$ 의 넓이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

108

(C)

120

(D)

135

(E)

144

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 $ABCD$ 에서 점 $E$ 는 변 $\overline{CD}$ 의 중점이고, 선분 $\overline{BE}$ 는 대각선 $\overline{AC}$ 와 점 $F$ 에서 만납니다. 네 꼭짓점 $A$, $F$, $E$, $D$ 로 이루어진 사각형 $AFED$ 의 넓이가 $45$ 일 때, 정사각형 $ABCD$ 전체의 넓이를 구하시오.

주어진 것: $ABCD$ 는 정사각형이므로 네 변의 길이가 같고 대각선이 합동인 두 직각삼각형으로 나눈다; $E$ 는 변 $\overline{CD}$ 의 중점이므로 $CE = ED = \tfrac{1}{2} \cdot CD$; $F$ 는 대각선 $\overline{AC}$ 와 선분 $\overline{BE}$ 의 교점; 사각형 $AFED$ 의 넓이 $= 45$; 선택지: (A) $100$, (B) $108$, (C) $120$, (D) $135$, (E) $144$

구하는 것: 정사각형 $ABCD$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

그림은 이미 주어져 있지만, 도구 #1(그림 그리기) 의 핵심은 *주어진 그림 위에 정보를 더 적는 것* 입니다 — $E$ 가 중점임을 표시하고 $CE = ED = s/2$ 라 적으면, 큰 직각삼각형 $\triangle ACD$ 안에 작은 직각삼각형 $\triangle FCE$ 가 쏙 들어가 있다는 구조가 보입니다. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 자연스럽게 떠오릅니다 — 다루기 까다로운 사각형 $AFED$ 는 "정사각형의 절반" 인 $\triangle ACD$ 에서 작은 $\triangle FCE$ 만 빼면 되므로, 결국 작은 삼각형 하나만 구하면 끝입니다. 점 $F$ 의 위치는 대수 없이도 알 수 있도록 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 처리합니다 — $E$ 가 중점이고 $\triangle ACD$ 가 직각이라는 점을 살려 한 변을 $s = 6$ 으로 잡으면 좌표가 모두 정수가 되어 $F$ 의 위치를 쉽게 찾을 수 있고, 거기서 얻은 비율은 어떤 $s$ 에도 그대로 적용됩니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.G.A.1 단계 1

계산하기 좋은 정사각형으로 바꿉니다.
도구 #9 에 따라 $s = 6$ 으로 잡으면 $CE = ED = 3$ 이 되어 산수가 모두 정수로 떨어집니다.
좌표를 $D = (0,0)$, $C = (6,0)$, $B = (6,6)$, $A = (0,6)$, $E = (3,0)$ 로 두면 문제에 주어진 그림과 일치합니다.

$$s = 6,\ CE = ED = 3$$

💡 정사각형을 좌표 격자 위에 올리면 거리 계산이 단순한 좌표 차로 바뀌는 5학년 좌표평면 활용입니다.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 2

대각선 $\overline{AC}$ 와 선분 $\overline{BE}$ 가 만나는 점 $F$ 의 좌표를 찾습니다.
$A(0,6)$ 에서 $C(6,0)$ 으로 갈 때 오른쪽으로 한 칸 가면 아래로 한 칸 내려오므로 대각선 위의 점은 $x + y = 6$ 을 만족합니다.
한편 $B(6,6)$ 에서 $E(3,0)$ 까지는 왼쪽으로 한 칸 갈 때마다 아래로 두 칸 내려오므로 $\overline{BE}$ 위의 점은 $E$ 를 기준으로 $y = 2(x - 3)$ 이 됩니다.
두 식을 같게 놓으면 $6 - x = 2(x - 3)$ 에서 $3x = 12$, 즉 $x = 4$, $y = 2$ 가 되어 $F = (4, 2)$ — 그림에 표시된 점과 정확히 일치합니다.

$F = (4, 2)$, $\overline{CD}$ 로부터의 높이 $y_F = 2 = \tfrac{s}{3}$

💡 $F$ 의 좌표를 표시하는 것은 격자 위에서 두 선이 만나는 점을 찾는 5학년 그래프 그리기 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 3

도구 #7 로 그림을 쪼갭니다.
대각선 $\overline{AC}$ 는 정사각형을 합동인 두 직각삼각형으로 나누는데, $D$ 가 포함된 쪽이 $\triangle ACD$ 이고, 사각형 $AFED$ 는 그 $\triangle ACD$ 에서 작은 모서리 삼각형 $\triangle FCE$ 만 잘라낸 모양입니다.
따라서 $[AFED] = [\triangle ACD] - [\triangle FCE]$ 입니다.

$$[AFED] = [\triangle ACD] - [\triangle FCE]$$

💡 복잡한 도형의 넓이를 큰 도형의 넓이에서 작은 도형의 넓이를 빼서 구하는 것은 3학년 "넓이는 더하고 뺄 수 있다" 와 같은 발상입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

$s = 6$ 인 시험용 정사각형에서 두 조각의 넓이를 직접 구합니다.
$\triangle ACD$ 는 두 직각변이 $AD = 6$, $DC = 6$ 이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$.
$\triangle FCE$ 는 밑변 $CE = 3$ 을 아래쪽에 두고 보면 높이는 $F$ 에서 $\overline{CD}$ 까지의 수직거리 $y_F = 2$ 이므로 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.

$$[\triangle ACD] = 18,\ [\triangle FCE] = 3,\ [AFED] = 18 - 3 = 15$$

💡 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 삼각형 넓이를 구해 합·차로 묶는 것은 6학년 다각형 넓이 표준입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 5

원래 문제로 비율을 되돌립니다.
$s = 6$ 일 때 정사각형 넓이는 $36$, 사각형 $AFED$ 의 넓이는 $15$ 이므로 $AFED$ 는 정사각형의 $\tfrac{15}{36} = \tfrac{5}{12}$ 입니다.
이 비율은 $s$ 값과 관계없이 항상 성립합니다.
문제에서 $[AFED] = 45$ 이므로 정사각형의 넓이는 $\tfrac{5}{12} \cdot [\square ABCD] = 45$ 에서 $[\square ABCD] = 45 \cdot \tfrac{12}{5} = 108$.

$$\dfrac{[AFED]}{[\square ABCD]} = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12} \;\Rightarrow\; [\square ABCD] = 45 \cdot \dfrac{12}{5} = 108 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 쉬운 경우에서 찾은 비율 $\tfrac{5}{12}$ 를 실제 값에 스케일링해 적용하는 것은 6학년 비율·비례 추론입니다.

[1] #9 5.G.A.1 계산하기 좋은 정사각형으로 바꿉니다. 도구 #9 에 따라 $s = 6$ 으로 잡으면 $CE = ED = 3$ 이 되어 산수가 모두 정수로 떨어집

[2] #1 5.G.A.2 대각선 $\overline{AC}$ 와 선분 $\overline{BE}$ 가 만나는 점 $F$ 의 좌표를 찾습니다. $A(0,6)$ 에서 $C(

[3] #7 3.MD.C.7 도구 #7 로 그림을 쪼갭니다. 대각선 $\overline{AC}$ 는 정사각형을 합동인 두 직각삼각형으로 나누는데, $D$ 가 포함된 쪽이 $

[4] #7 6.G.A.1 $s = 6$ 인 시험용 정사각형에서 두 조각의 넓이를 직접 구합니다. $\triangle ACD$ 는 두 직각변이 $AD = 6$, $DC =

[5] #9 6.RP.A.3 원래 문제로 비율을 되돌립니다. $s = 6$ 일 때 정사각형 넓이는 $36$, 사각형 $AFED$ 의 넓이는 $15$ 이므로 $AFED$ 는

검토

합리성 확인: 그림을 보면 $AFED$ 는 정사각형의 "절반보다 약간 작은" $\triangle ACD$ 의 대부분을 차지하므로 대략 전체의 $\tfrac{1}{3}$ 정도입니다. 그래서 정사각형의 넓이는 $3 \times 45 = 135$ 보다 약간 작은 값이어야 하고, 계산한 $108$ 은 정확히 그 범위에 들어옵니다. 또 $\tfrac{12}{5} \cdot 45 = 12 \cdot 9 = 108$ 이 깔끔한 정수로 떨어지는 것도, 대회 문제답게 답이 "정돈된 값" 으로 나오는 것과 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 비율 $\tfrac{5}{12}$ 를 알고 나면, 후보 $A$ 마다 $[AFED] = \tfrac{5}{12} A$ 를 계산해 $45$ 와 비교하면 됩니다. $A = 108$ 일 때만 $\tfrac{5}{12} \cdot 108 = 45$ 이고, $100, 120, 135, 144$ 는 각각 $\tfrac{125}{3}, 50, 56.25, 60$ 이 되어 $45$ 와 맞지 않으므로 (B) 만 남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.1 서로 수직인 두 수직선으로 좌표평면 구성하기 (정사각형을 $D=(0,0)$, $C=(6,0)$, $B=(6,6)$, $A=(0,6)$, $E=(3,0)$ 으로 좌표평면 위에 올려 거리 계산을 좌표 차로 환원.)
5.G.A.2 점을 그래프로 나타내어 실생활·수학 문제 표현하기 (대각선 $\overline{AC}$ 와 선분 $\overline{BE}$ 의 교점 $F = (4, 2)$ 를 좌표평면 위에서 찾는 데 사용.)
3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈의 연산과 연결하기 (복합 도형 $AFED$ 의 넓이를 큰 삼각형 $\triangle ACD$ 의 넓이에서 작은 삼각형 $\triangle FCE$ 의 넓이를 뺀 값으로 인식.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 합성·분해로 구하기 ($\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 $[\triangle ACD] = 18$, $[\triangle FCE] = 3$ 을 구해 $[AFED] = 15$ 로 합치는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (쉬운 경우 ($s = 6$) 에서 얻은 비율 $\tfrac{[AFED]}{[\square ABCD]} = \tfrac{5}{12}$ 를 실제 조건 $[AFED] = 45$ 에 스케일링해 $[\square ABCD] = 108$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 비율 추론과 삼각형 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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