AMC 8 · 2018 · #4
학년 6 geometry-2d문제
아래 그림에 나타난 십이각형은 1 cm×1 cm 모눈종이 위에 그려져 있습니다. 이 도형의 넓이는 몇 cm2입니까?
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AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 변이 $1$ cm 인 모눈종이 위에 꼭짓점이 모두 격자점인 12각형이 그려져 있습니다. 이 다각형이 둘러싼 부분의 넓이를 cm$^2$ 단위로 구하세요.
주어진 것: 모눈종이 칸 한 변의 길이 $= 1$ cm; 둘레를 따라 순서대로 읽은 12개의 꼭짓점은 $(1,3), (2,4), (2,5), (3,6), (4,5), (5,5), (6,4), (5,3), (5,2), (4,1), (3,2), (2,2)$ 입니다; 모든 꼭짓점이 격자점 위에 있음; 선택지: (A) $12$, (B) $12.5$, (C) $13$, (D) $13.5$, (E) $14$
구하는 것: 이 12각형이 둘러싼 부분의 넓이 (cm$^2$)
이해
문제 재정리: 한 변이 $1$ cm 인 모눈종이 위에 꼭짓점이 모두 격자점인 12각형이 그려져 있습니다. 이 다각형이 둘러싼 부분의 넓이를 cm$^2$ 단위로 구하세요.
주어진 것: 모눈종이 칸 한 변의 길이 $= 1$ cm; 둘레를 따라 순서대로 읽은 12개의 꼭짓점은 $(1,3), (2,4), (2,5), (3,6), (4,5), (5,5), (6,4), (5,3), (5,2), (4,1), (3,2), (2,2)$ 입니다; 모든 꼭짓점이 격자점 위에 있음; 선택지: (A) $12$, (B) $12.5$, (C) $13$, (D) $13.5$, (E) $14$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기
12각형 그대로는 넓이를 구하기가 까다롭지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 적용하면 $(2,2)$ 부터 $(5,5)$ 까지의 $3 \times 3$ 정사각형 한 개와 그 위·아래·왼·오른쪽으로 튀어나온 직각삼각형 네 개로 깔끔하게 나뉩니다. 정사각형은 한 변 $\times$ 한 변, 직각삼각형은 $\tfrac{1}{2} \times $ 밑변 $\times $ 높이 — 둘 다 초등 기하에서 바로 처리할 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 도구로, 문제의 격자 그림 위에 네 개의 "뾰족한" 삼각형과 가운데 $3 \times 3$ 정사각형을 표시하면 분해가 한눈에 들어옵니다.
실행 — 정답: C
5.G.A.2 단계 1 - 모눈 위에 12각형을 그리고 순서대로 변을 따라가 봅니다.
- 바깥으로 튀어나온 네 꼭짓점 — 위 $(3,6)$, 오른쪽 $(6,4)$, 아래 $(4,1)$, 왼쪽 $(1,3)$ — 을 표시합니다.
- 그러면 나머지 여덟 꼭짓점 $(2,2), (5,2), (5,5), (2,5)$ 와 "어깨" 위치의 $(3,2), (5,3), (4,5), (2,4)$ 가 모두 꼭짓점 $(2,2)$ 와 $(5,5)$ 를 마주보는 $3 \times 3$ 정사각형의 둘레 위에 놓이는 것을 알 수 있습니다.
💡 좌표 평면에 점을 찍어 도형의 구조를 보는 것은 5학년 좌표 활용 그대로입니다.
3.MD.C.7 단계 2 - 가운데 $3 \times 3$ 정사각형의 넓이를 구합니다.
- 네 꼭짓점이 $(2,2), (5,2), (5,5), (2,5)$ 이므로 한 변의 길이는 $5 - 2 = 3$ cm 입니다.
💡 직사각형의 넓이를 가로 $\times$ 세로로 구하는 것은 3학년 "넓이를 곱셈으로 보기" 그대로입니다.
6.G.A.1 단계 3 - 바깥쪽 삼각형 한 개의 넓이를 구합니다.
- 위쪽 삼각형의 꼭짓점은 $(2,5), (3,6), (4,5)$ 이고, 밑변은 직선 $y = 5$ 위에 놓인 길이 $4 - 2 = 2$ cm 짜리 선분이며, 꼭짓점 $(3,6)$ 은 밑변에서 $1$ cm 위에 있습니다.
💡 좌표 격자 위 삼각형의 넓이를 구하는 것은 6학년 다각형 넓이 표준에 해당합니다.
4.OA.A.3 단계 4 - 대칭성에 의해 나머지 세 바깥쪽 삼각형 — 오른쪽 $(5,5),(6,4),(5,3)$, 아래 $(4,1),(3,2),(5,2)$, 왼쪽 $(1,3),(2,4),(2,2)$ — 도 위쪽 삼각형과 합동입니다.
- 모두 밑변 $2$ cm, 높이 $1$ cm 이므로 각각의 넓이가 $1$ cm$^2$ 이고, 네 삼각형의 합은 $4 \times 1 = 4$ cm$^2$ 입니다.
💡 "합동인 조각의 개수 $\times$ 한 조각의 넓이" 로 묶어 계산하는 것은 4학년 다단계 문장제 사고입니다.
4.OA.A.3 단계 5 - 조각들을 다시 합쳐 전체 넓이를 구합니다.
- 가운데 정사각형과 네 개의 바깥 삼각형을 모두 더하면 됩니다.
💡 조각의 넓이를 더해 전체를 되살리는 것이 "작은 문제로 쪼개기" 의 마무리 단계입니다 — 4학년 다단계 사고.
5.G.A.2 모눈 위에 12각형을 그리고 순서대로 변을 따라가 봅니다. 바깥으로 튀어나온 네 꼭짓점 — 위 $(3,6)$, 오른쪽 $(6,4)$, 아래 $( 3.MD.C.7 가운데 $3 \times 3$ 정사각형의 넓이를 구합니다. 네 꼭짓점이 $(2,2), (5,2), (5,5), (2,5)$ 이므로 한 변의 길이 6.G.A.1 바깥쪽 삼각형 한 개의 넓이를 구합니다. 위쪽 삼각형의 꼭짓점은 $(2,5), (3,6), (4,5)$ 이고, 밑변은 직선 $y = 5$ 위에 4.OA.A.3 대칭성에 의해 나머지 세 바깥쪽 삼각형 — 오른쪽 $(5,5),(6,4),(5,3)$, 아래 $(4,1),(3,2),(5,2)$, 왼쪽 $(1, 4.OA.A.3 조각들을 다시 합쳐 전체 넓이를 구합니다. 가운데 정사각형과 네 개의 바깥 삼각형을 모두 더하면 됩니다. 검토
합리성 확인: 이 12각형은 $(1,1)$ 부터 $(6,6)$ 까지의 $5 \times 5$ 정사각형 안에 들어가므로 넓이는 $25$ 이하이고, 가운데 $3 \times 3 = 9$ 보다는 분명히 큽니다. 바깥쪽 네 개의 작은 삼각형이 눈대중으로 각각 $1$ cm$^2$ 정도라서 $9 + 4 = 13$ 은 그림과 잘 맞고, 선택지 중 그 근처 값은 (C) 뿐입니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) — 격자 다각형에 픽의 정리를 적용합니다. 둘레 격자점 $B = 12$ (꼭짓점 12개, 변 위에 추가 격자점 없음), 내부 격자점 $I = 8$ (① $(4,2)$, ② $y = 3$ 위의 $(2,3),(3,3),(4,3)$, ③ $y = 4$ 위의 $(3,4),(4,4),(5,4)$, ④ $(3,5)$). 그러면 넓이 $= I + \tfrac{B}{2} - 1 = 8 + 6 - 1 = 13$ cm$^2$ 로 (C) 가 한 번 더 확인됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.G.A.2실생활·수학 문제를 좌표평면에 점을 찍어 나타내기 (12개의 꼭짓점을 좌표 격자에 찍어 보고, 가운데 $3 \times 3$ 정사각형 + 바깥쪽 삼각형 네 개의 구조를 시각적으로 파악.)3.MD.C.7넓이를 곱셈과 덧셈 연산으로 연결하기 (가운데 $3 \times 3$ 정사각형의 넓이를 $3 \times 3 = 9$ cm$^2$ 로 계산.)6.G.A.1삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 분해·합성으로 구하기 (바깥쪽 삼각형 한 개의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ cm$^2$ 로, 좌표 격자에서 삼각형 넓이 공식으로 계산.)4.OA.A.3사칙연산을 사용한 다단계 문장제 해결 (합동인 삼각형 네 개를 $4 \times 1 = 4$ 로 묶고, 마지막에 $9 + 4 = 13$ 으로 가운데 정사각형과 바깥 삼각형을 합치는 단계.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 삼각형 넓이 공식 (밑변 $\times$ 높이 $\div$ 2) 을 정사각형 + 삼각형 4개로 쪼개서 쓰면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 삼각형 넓이 공식 (밑변 $\times$ 높이 $\div$ 2) 을 정사각형 + 삼각형 4개로 쪼개서 쓰면 풀 수 있어요!
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