AMC 8 · 2019 · #9

학년 8 geometry-3drate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

volume-cylinderratio-proportionformula-substitution identify-subproblemsformula-substitution ↑ 선수 지식: area-circlesratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

알렉스와 펠리시아는 각각 고양이를 키우고 있습니다. 알렉스는 지름이 $6\,\text{cm}$ 이고 높이가 $12\,\text{cm}$ 인 원기둥 모양 캔에 든 고양이 사료를 삽니다. 펠리시아는 지름이 $12\,\text{cm}$ 이고 높이가 $6\,\text{cm}$ 인 원기둥 모양 캔에 든 고양이 사료를 삽니다. 알렉스의 캔 하나의 부피와 펠리시아의 캔 하나의 부피의 비는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1:4

(B)

1:2

(C)

1:1

(D)

2:1

(E)

4:1

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 알렉스의 고양이 사료 캔은 지름 $6$ cm, 높이 $12$ cm 의 가늘고 긴 원기둥이고, 펠리시아의 캔은 지름 $12$ cm, 높이 $6$ cm 의 낮고 넓은 원기둥입니다. 알렉스 캔의 부피와 펠리시아 캔의 부피의 비를 구해 선택지에서 고르는 문제입니다.

주어진 것: 알렉스의 캔: 지름 $= 6$ cm, 높이 $= 12$ cm $\Rightarrow$ 반지름 $r_A = 3$ cm; 펠리시아의 캔: 지름 $= 12$ cm, 높이 $= 6$ cm $\Rightarrow$ 반지름 $r_F = 6$ cm; 원기둥의 부피 공식: $V = \pi r^2 h$; 선택지: (A) $1:4$, (B) $1:2$, (C) $1:1$, (D) $2:1$, (E) $4:1$

구하는 것: 알렉스 캔의 부피와 펠리시아 캔의 부피의 비 $V_A : V_F$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

"두 부피의 비" 라는 큰 질문은 (i) $V_A$ 구하기, (ii) $V_F$ 구하기, (iii) 두 값을 비로 만들어 간단히 하기, 라는 세 개의 작은 문제로 자연스럽게 쪼개집니다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 들어맞습니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 지름과 반지름을 헷갈리지 않게 하고($r = d/2$), 두 부피 모두 cm$^3$ 단위라 비를 구할 때 단위와 $\pi$ 가 모두 약분된다는 점을 잡아 줍니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기) 은 다지선다 안전망입니다 — 반지름이 두 배가 되면 제곱 효과로 $4$ 배가 되고 높이는 절반이 되니, 펠리시아 캔이 더 클 것이 확실해 (C), (D), (E) 가 즉시 사라집니다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.1 단계 1

지름을 반지름으로 바꿉니다.
부피 공식 $V = \pi r^2 h$ 는 반지름을 쓰므로, 각 캔의 지름을 절반으로 나눠 줍니다.

$$r_A = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ cm}, \quad r_F = \dfrac{12}{2} = 6 \text{ cm}$$

💡 반지름이 지름의 절반이라는 사실은 4학년 측정 단원에서 익히는 기본입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.C.9 단계 2

$r_A = 3$, $h_A = 12$ 을 $V = \pi r^2 h$ 에 대입해 알렉스 캔의 부피를 구합니다.
반지름을 먼저 제곱한 뒤 높이를 곱합니다.

$$V_A = \pi (3)^2 (12) = \pi \cdot 9 \cdot 12 = 108\pi \text{ cm}^3$$

💡 원기둥 부피 공식 $V = \pi r^2 h$ 를 그대로 적용하는 것은 8학년 "원기둥의 부피" 표준 그 자체입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.C.9 단계 3

같은 공식에 $r_F = 6$, $h_F = 6$ 을 대입해 펠리시아 캔의 부피를 구합니다.
반지름이 두 배지만 높이는 절반인 점에 주목합니다.

$$V_F = \pi (6)^2 (6) = \pi \cdot 36 \cdot 6 = 216\pi \text{ cm}^3$$

💡 같은 8학년 원기둥 부피 공식을 두 번째로 적용하는 단계입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.1 단계 4

비 $V_A : V_F$ 를 분수로 세웁니다.
두 부피 모두 공통으로 $\pi$ 와 cm$^3$ 를 가지고 있으니, 비를 만들면 둘 다 깔끔하게 약분되어 순수한 수의 비만 남습니다.

$$\dfrac{V_A}{V_F} = \dfrac{108\pi}{216\pi} = \dfrac{108}{216}$$

💡 두 양을 분수 형태로 비교하는 것은 6학년 비(ratio) 개념의 기본 동작입니다.

#3 가능성 지우기 4.NF.A.1 단계 5

$\tfrac{108}{216}$ 을 약분합니다.
$216 = 2 \times 108$ 이므로 분수는 $\tfrac{1}{2}$ 이고, 따라서 비는 $1:2$ — 답은 $\textbf{(B)}$ 입니다.

$$\dfrac{108}{216} = \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; V_A : V_F = 1 : 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $\tfrac{108}{216}$ 이 $\tfrac{1}{2}$ 와 같은 분수임을 알아보는 것은 4학년 "같은 값의 분수" 표준이며, 이로써 (B) 가 바로 짚입니다.

[1] #8 4.MD.A.1 지름을 반지름으로 바꿉니다. 부피 공식 $V = \pi r^2 h$ 는 반지름을 쓰므로, 각 캔의 지름을 절반으로 나눠 줍니다.

[2] #7 8.G.C.9 $r_A = 3$, $h_A = 12$ 을 $V = \pi r^2 h$ 에 대입해 알렉스 캔의 부피를 구합니다. 반지름을 먼저 제곱한 뒤 높이를

[3] #7 8.G.C.9 같은 공식에 $r_F = 6$, $h_F = 6$ 을 대입해 펠리시아 캔의 부피를 구합니다. 반지름이 두 배지만 높이는 절반인 점에 주목합니다.

[4] #8 6.RP.A.1 비 $V_A : V_F$ 를 분수로 세웁니다. 두 부피 모두 공통으로 $\pi$ 와 cm$^3$ 를 가지고 있으니, 비를 만들면 둘 다 깔끔하게

[5] #3 4.NF.A.1 $\tfrac{108}{216}$ 을 약분합니다. $216 = 2 \times 108$ 이므로 분수는 $\tfrac{1}{2}$ 이고, 따라서

검토

합리성 확인: 스케일로 다시 확인해 봅시다. 펠리시아의 반지름은 알렉스보다 $2$ 배($6$ 대 $3$)라 $r^2$ 효과로 부피가 $4$ 배 늘지만, 높이는 절반($6$ 대 $12$)이라 $\tfrac{1}{2}$ 가 곱해집니다. 종합 배율은 $4 \times \tfrac{1}{2} = 2$ — 즉 $V_F = 2 V_A$ 이고 $V_A : V_F = 1 : 2$ 로 (B) 와 일치합니다. 반지름 제곱 효과가 높이 절반 효과를 이긴다는 것도, 짧고 넓은 캔이 같은 재료를 두 배로 담아낸다는 직관과 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 를 이용해 숫자를 대입하기 전에 비를 식 그대로 써 두는 방법도 있습니다 — $\tfrac{V_A}{V_F} = \tfrac{\pi r_A^2 h_A}{\pi r_F^2 h_F} = \tfrac{3^2 \cdot 12}{6^2 \cdot 6} = \tfrac{9 \cdot 12}{36 \cdot 6} = \tfrac{108}{216} = \tfrac{1}{2}$. 처음부터 $\pi$ 를 약분하고 들어가면 계산이 한 단계 줄고, 답이 $\pi$ 에 의존할 수 없다는 점도 분명해집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.MD.A.1 측정 단위의 상대적 크기 이해와 큰 단위에서 작은 단위로의 환산 (부피 공식에 넣기 전에 지름을 반으로 나눠 반지름($r = d/2$) 으로 바꾸는 단계.)
4.NF.A.1 같은 값을 나타내는 분수 이해 ($\tfrac{108}{216}$ 을 $\tfrac{1}{2}$ 로 약분하여 선택지 $1:2$ 와 맞추는 단계.)
6.RP.A.1 비(ratio) 개념의 이해와 비 언어 사용 ($V_A : V_F$ 를 분수 $\tfrac{V_A}{V_F}$ 형태로 세워서 공통 인수 $\pi$ 가 약분되도록 하는 단계.)
8.G.C.9 원뿔, 원기둥, 구의 부피 공식 이해 ($V = \pi r^2 h$ 를 적용해 두 캔의 부피 $V_A = 108\pi$, $V_F = 216\pi$ cm$^3$ 를 각각 계산하는 단계.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 원기둥 부피 공식 $V = \pi r^2 h$ 만 알면 풀 수 있어요 — 식만 세우면 $\pi$ 가 약분되고 한 번에 답이 보여요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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