AMC 8 · 2022 · #1

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

area-rectanglesarea-trianglesspatial-visualization area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

수학 팀이 아래 그림과 같이 한 변이 1인치인 정사각형 격자 위에 곱셈 기호 모양의 로고를 디자인했습니다. 이 로고의 넓이는 몇 제곱인치입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수학팀이 디자인한 로고는 $1$ 인치 격자 위에 그려진 곱셈 기호($\times$) 모양입니다. 색칠된 영역은 꼭짓점 $(1,2),(2,1),(3,2),(4,1),(5,2),(4,3),(5,4),(4,5),(3,4),(2,5),(1,4),(2,3)$ 을 차례로 잇는 다각형입니다. 이 로고의 넓이를 제곱인치 단위로 구하고, $10, 12, 13, 14, 15$ 중에서 답을 골라야 합니다.

주어진 것: 격자의 한 칸은 가로·세로 각각 $1$ 인치; 색칠된 도형의 꼭짓점 $12$ 개는 모두 격자점 위에 있음; 도형은 마주 보는 꼭짓점이 $(1,1)$ 과 $(5,5)$ 인 $4 \times 4$ 정사각형 안에 꼭 들어맞음; 선택지: (A) $10$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

구하는 것: 색칠된 로고의 넓이(제곱인치)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기 (여집합 세기)

$\times$ 모양은 직접 재기 까다롭지만, 깔끔한 $4 \times 4$ 경계 상자 안에 딱 갇혀 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 문제를 (1) $4 \times 4$ 상자 넓이와 (2) 로고를 둘러싼 흰색 삼각형 조각들의 넓이로 두 조각으로 나누면 쉽습니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 그 흰 삼각형들을 그림 위에 표시하는 데 쓰고, 도구 #16(관점 바꾸기 — 여집합) 은 색칠된 부분을 직접 세는 대신 상자 전체에서 흰 부분을 빼는 전략의 이름입니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 1

로고 둘레에 $4 \times 4$ 경계 정사각형을 그립니다.
마주 보는 꼭짓점이 $(1,1)$ 과 $(5,5)$ 이고, 로고의 뾰족한 끝점 $(1,2),(2,1),(5,2),(4,1),(5,4),(4,5),(1,4),(2,5)$ 가 모두 이 정사각형의 변 위에 놓입니다.
경계 상자의 넓이는 $4 \times 4 = 16$ in$^2$ 입니다.

$$\text{상자 넓이} = 4 \times 4 = 16 \text{ in}^2$$

💡 직사각형의 넓이를 가로 $\times$ 세로로 구하는 것은 3학년 넓이 개념 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

상자의 네 모퉁이를 봅니다.
각 모퉁이에서(예: $(1,1)$ 근처) 로고의 윤곽선이 다리 길이가 $1$ 인 작은 직각삼각형을 잘라 냅니다.
각 모퉁이 삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2} \times 1 \times 1 = \tfrac{1}{2}$ in$^2$ 입니다.

$$\text{모퉁이 삼각형} = \tfrac{1}{2} \times 1 \times 1 = \tfrac{1}{2} \text{ in}^2$$

💡 흰 테두리를 직각삼각형으로 쪼개 넓이를 구하는 것은 6학년 "도형을 합·분해해서 넓이 구하기" 입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

이번에는 상자 각 변의 한가운데를 봅니다.
각 변에는 뾰족한 끝이 안쪽을 향한 더 큰 흰색 삼각형이 하나씩 있는데, 예를 들어 아래 변의 삼각형은 꼭짓점이 $(2,1),(4,1),(3,2)$ 이므로 밑변은 $4 - 2 = 2$, 높이는 $2 - 1 = 1$ 입니다.
따라서 변 삼각형 하나의 넓이는 $\tfrac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ in$^2$ 입니다.

$$\text{변 삼각형} = \tfrac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 \text{ in}^2$$

💡 같은 분해 아이디어를 변 쪽의 더 큰 흰 삼각형들에 한 번 더 적용한 것입니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합 세기) 4.OA.A.3 단계 4

경계 상자 안의 흰색 넓이를 모두 더합니다.
모퉁이 삼각형 $4$ 개와 변 삼각형 $4$ 개를 합치면 됩니다.

$$\text{흰색 합계} = 4 \times \tfrac{1}{2} + 4 \times 1 = 2 + 4 = 6 \text{ in}^2$$

💡 색칠된 모양을 직접 세는 대신 흰색(여집합)을 세는 것이 더 쉽다는 것이 도구 #16 의 핵심이며, 여러 단계 연산이 필요한 4학년 문장제 스킬을 씁니다.

#16 관점 바꾸기 (여집합 세기) 4.OA.A.3 단계 5

경계 상자 넓이에서 흰색 넓이를 빼면 로고의 넓이가 됩니다.

$$\text{로고 넓이} = 16 - 6 = 10 \text{ in}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 전체에서 색칠되지 않은 부분을 빼서 색칠된 부분을 얻는 것이 여집합 전략의 마지막 한 줄입니다.

[1] #1 3.MD.C.7 로고 둘레에 $4 \times 4$ 경계 정사각형을 그립니다. 마주 보는 꼭짓점이 $(1,1)$ 과 $(5,5)$ 이고, 로고의 뾰족한 끝점 $

[2] #7 6.G.A.1 상자의 네 모퉁이를 봅니다. 각 모퉁이에서(예: $(1,1)$ 근처) 로고의 윤곽선이 다리 길이가 $1$ 인 작은 직각삼각형을 잘라 냅니다. 각

[3] #7 6.G.A.1 이번에는 상자 각 변의 한가운데를 봅니다. 각 변에는 뾰족한 끝이 안쪽을 향한 더 큰 흰색 삼각형이 하나씩 있는데, 예를 들어 아래 변의 삼각형

[4] #16 4.OA.A.3 경계 상자 안의 흰색 넓이를 모두 더합니다. 모퉁이 삼각형 $4$ 개와 변 삼각형 $4$ 개를 합치면 됩니다.

[5] #16 4.OA.A.3 경계 상자 넓이에서 흰색 넓이를 빼면 로고의 넓이가 됩니다.

검토

합리성 확인: 대칭으로 다시 확인해 봅시다. 로고는 가운데 마름모 하나와 똑같이 생긴 네 개의 "팔" 로 이루어져 있습니다. 가운데 마름모는 꼭짓점이 $(2,3),(3,2),(4,3),(3,4)$ 인 대각선 $2$ 의 정사각형이라 넓이가 $\tfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ in$^2$ 입니다. 각 팔(예: 오른쪽 팔의 꼭짓점 $(3,2),(4,1),(5,2),(4,3)$) 도 같은 방식의 정사각형으로 넓이 $2$ in$^2$ 입니다. 총합 $= 2 + 4 \times 2 = 10$ in$^2$ 로 답 (A) 와 정확히 일치하고, $16$ in$^2$ 인 상자 안에 들어가는 적당한 크기입니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 의 한 갈래인 픽의 정리(Pick's Theorem) 를 격자점에 써도 됩니다. 로고의 경계 위 격자점은 꼭짓점 $12$ 개 그대로이므로 $B = 12$, 내부의 격자점은 $(2,2),(4,2),(2,4),(4,4),(3,3)$ 의 $5$ 개라 $I = 5$ 입니다. 그러면 $A = I + \tfrac{B}{2} - 1 = 5 + 6 - 1 = 10$ in$^2$ 로, 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈 연산과 연결하기 ($4 \times 4$ 경계 정사각형의 넓이를 $4 \times 4 = 16$ in$^2$ 로 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 도형을 합·분해해 삼각형·사각형·다각형의 넓이 구하기 (흰색 테두리를 모퉁이 직각삼각형(다리 $1,1$) 과 변 삼각형(밑변 $2$, 높이 $1$) 으로 분해해 각각의 넓이를 계산.)
4.OA.A.3 사칙연산을 사용한 여러 단계 문장제 해결 (모퉁이 삼각형 $4$ 개와 변 삼각형 $4$ 개를 합쳐 흰색 총넓이($6$ in$^2$) 를 구하고, 상자 넓이($16$ in$^2$) 에서 빼서 로고 넓이를 얻는 다단계 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "도형을 삼각형·사각형으로 쪼개서 넓이 구하기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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