Sensim Math Original · sm-11

SM Original 학년 6 geometry-2d

영감을 받은 문제: AMC 8 2024 #11

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

area-trianglescoordinate-geometry coordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-trianglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

조경 설계사가 좌표평면 위에 삼각형 모양의 화단을 스케치하였습니다 (좌표의 한 칸은 $1$ m 입니다). 화단의 세 꼭짓점은 $P(3,1)$ , $Q(3,9)$ , $R(x,5)$ 이고, 꼭짓점 $R$ 은 세로변 $PQ$ 의 오른쪽에 놓여 있어 $x > 3$ 입니다. 이 화단의 넓이가 정확히 $24$ 제곱미터일 때, $x$ 의 값을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 좌표평면 위(한 칸 $1$ m)에 그려진 삼각형 모양 화단의 세 꼭짓점은 $P(3,1)$, $Q(3,9)$, $R(x,5)$ 이고, 꼭짓점 $R$ 은 세로변 $PQ$ 의 오른쪽에 있어 $x > 3$ 입니다. 이 화단의 넓이가 $24$ 제곱미터일 때, $x$ 의 값을 구하는 것이 목표입니다.

주어진 것: 꼭짓점 좌표: $P(3,1)$, $Q(3,9)$, $R(x,5)$; 좌표 한 칸은 $1$ m, 넓이의 단위는 제곱미터; 조건: $x > 3$ (점 $R$ 은 세로변 $PQ$ 의 오른쪽에 위치); 화단의 넓이 $= 24$ 제곱미터; 선택지: (A) 6, (B) 7, (C) 8, (D) 9, (E) 10

구하는 것: 점 $R$ 의 x좌표 값 $x$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기

좌표만 주어졌고 그림은 없으므로 가장 먼저 #1 **그림 그리기** 로 모눈종이에 세 점을 찍어 봅니다. 그림을 그리면 $P$, $Q$ 의 x좌표가 같아 변 $PQ$ 가 세로선이라는 사실이 단번에 보이고, 이걸 '밑변'으로 잡으면 깔끔하다는 계획이 자연스럽게 떠오릅니다. 그 다음 #7 **작은 문제로 쪼개기** 로 (i) 세로 밑변의 길이, (ii) 점 $R$ 에서 그 세로선까지의 거리(= 높이) 두 개의 작은 질문으로 나눕니다. 마지막으로, 객관식이므로 대수(도구 #13) 대신 #6 **추측하고 확인하기** 로 선택지 값을 직접 식에 넣어 봅니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

모눈종이에 세 꼭짓점을 찍습니다.
$P(3,1)$ 과 $Q(3,9)$ 는 둘 다 x좌표가 $3$ 이므로 같은 세로선 위에 놓이고, $R(x,5)$ 는 y좌표가 $5$ ($P$ 와 $Q$ 의 정확히 가운데 높이)이며 $x > 3$ 이므로 그 세로선의 오른쪽 어딘가에 있습니다.
그림을 보면 변 $PQ$ 가 세로 직선이라는 게 한눈에 들어와, 이걸 '밑변'으로 잡는 것이 가장 자연스럽습니다.

$$P(3,1),\; Q(3,9),\; R(x,5)\;\text{with}\;x>3$$

💡 좌표평면에 점을 찍어 도형을 시각화하는 것은 5학년 좌표평면 단원에서 처음 배우는 기본 기능입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.8 단계 2

넓이 문제를 작은 문제로 쪼갭니다.
(i) 밑변 $PQ$ 의 길이는?
$P$ 와 $Q$ 가 같은 세로선 위에 있으니 x좌표는 신경 쓸 필요 없이 y좌표의 차이만 보면 됩니다: $|9 - 1| = 8$ m.

$$\text{밑변} = |9 - 1| = 8$$

💡 같은 세로선 위의 두 점 사이 거리를 y좌표 차이로 구하는 것은 6학년 좌표평면 거리 표준이 다루는 내용입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.8 단계 3

(ii) 높이는 얼마일까요?
이 세로 밑변에 대한 높이는 점 $R(x,5)$ 에서 밑변을 품은 세로선 $x = 3$ 까지의 수직 거리입니다.
$R$ 의 y좌표는 신경 쓸 필요 없이 x좌표의 차이만 보면 됩니다: $|x - 3|$.
문제에서 $x > 3$ 이라고 했으니 절댓값을 벗기면 그냥 $x - 3$ 입니다.

$$\text{높이} = |x - 3| = x - 3\;(\because x>3)$$

💡 한 점에서 세로 직선까지의 수직 거리를 x좌표의 차이로 구하는 것도 같은 6학년 좌표 거리 표준에 속합니다 — 이번에는 x축 방향일 뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

이제 삼각형 넓이 공식을 적용합니다: $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$.
밑변 $8$, 높이 $x - 3$, 넓이 $24$ 를 그대로 대입하면 $24 = \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot (x-3) = 4(x-3)$ 가 됩니다.
즉 '$4$ 곱하기 어떤 수가 $24$' 인 깔끔한 식이 만들어집니다.

$$24 = \tfrac{1}{2} \times 8 \times (x-3) = 4(x-3)$$

💡 삼각형 넓이 공식 $\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 는 6학년 기하의 핵심 표준입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.G.A.1 단계 5

대수 도구 대신 #6 **추측하고 확인하기** 로 선택지를 차례로 식 $4(x-3)$ 에 넣어 봅니다.
(A) $x=6$ → $4(6-3) = 12$, 너무 작음.
(C) $x=8$ → $4(8-3) = 20$, 아직 모자람.
(D) $x=9$ → $4(9-3) = 4 \cdot 6 = 24$.
**딱 맞습니다!** (E) $x=10$ → $4(10-3) = 28$, 너무 큼.
따라서 답은 $x = 9$, 선택지 **(D)**.

$$x=9 \Rightarrow 4(9-3) = 24 \;\checkmark$$

💡 선택지 값을 직접 넓이 공식에 넣어 확인하는 것은 같은 6학년 삼각형 넓이 표준 안에서 이루어지는 검산입니다.

[1] #1 5.G.A.2 모눈종이에 세 꼭짓점을 찍습니다. $P(3,1)$ 과 $Q(3,9)$ 는 둘 다 x좌표가 $3$ 이므로 같은 세로선 위에 놓이고, $R(x,5)

[2] #7 6.NS.C.8 넓이 문제를 작은 문제로 쪼갭니다. (i) 밑변 $PQ$ 의 길이는? $P$ 와 $Q$ 가 같은 세로선 위에 있으니 x좌표는 신경 쓸 필요 없이

[3] #7 6.NS.C.8 (ii) 높이는 얼마일까요? 이 세로 밑변에 대한 높이는 점 $R(x,5)$ 에서 밑변을 품은 세로선 $x = 3$ 까지의 수직 거리입니다. $

[4] #7 6.G.A.1 이제 삼각형 넓이 공식을 적용합니다: $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}

[5] #6 6.G.A.1 대수 도구 대신 #6 **추측하고 확인하기** 로 선택지를 차례로 식 $4(x-3)$ 에 넣어 봅니다. (A) $x=6$ → $4(6-3) =

검토

합리성 확인: 그림으로 다시 확인해 봅니다. 밑변 $8$ 인 삼각형의 넓이가 $24$ 가 되려면 높이가 $\tfrac{2 \times 24}{8} = 6$ 이어야 합니다. 점 $R$ 이 세로선 $x = 3$ 보다 오른쪽으로 $6$ m 떨어져 있어야 하므로 $x = 3 + 6 = 9$. 조건 $x > 3$ 도 만족합니다. 함정 검산도 해 봅니다 — 만약 $\tfrac{1}{2}$ 을 빠뜨리면 $8(x-3) = 24 \Rightarrow x = 6$ 이 나오는데, 이 값이 정확히 오답 (A) 로 깔려 있습니다. 출제자가 일부러 심어 둔 함정이라는 뜻이죠. 가장 작은 선택지 (A) $6$ 은 높이 $3$ → 넓이 $12$ 뿐이라 너무 작고, 가장 큰 (E) $10$ 은 높이 $7$ → 넓이 $28$ 이라 너무 크니, 답이 그 중간의 $9$ 인 것이 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #13 (대수로 바꾸기) 로도 풀 수 있습니다. $4(x-3) = 24$ 의 양변을 $4$ 로 나누면 $x - 3 = 6$, 양변에 $3$ 을 더하면 $x = 9$. 결과는 같지만, 초등학생에게는 선택지를 직접 넣어 보는 추측–확인 방식이 더 직관적이고 $\tfrac{1}{2}$ 누락 같은 실수를 막아 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.2 좌표평면 위의 점을 그래프로 나타내어 실생활/수학 문제를 표현한다 (화단의 세 꼭짓점 $P(3,1)$, $Q(3,9)$, $R(x,5)$ 를 좌표평면에 찍어 도형을 시각화하는 데 사용.)
6.NS.C.8 네 사분면에서 점을 그려 실생활 문제를 풀고, 같은 가로/세로선 위의 두 점 사이 거리를 구한다 (세로 밑변 $PQ$ 의 길이 $|9-1|=8$ 과 점 $R$ 에서 세로선 $x=3$ 까지의 높이 $|x-3| = x-3$ 을 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 구한다 (삼각형 넓이 공식 $\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 를 적용해 식 $24 = 4(x-3)$ 을 세우고 추측–확인으로 $x$ 를 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 삼각형 넓이 공식과 좌표평면 거리만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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