AMC 8 · 2002 · #22

학년 6 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

surface-areaspatial-visualizationface-adjacency identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Six cubes, each an inch on an edge, are fastened together, as shown. Find the total surface area in square inches. Include the top, bottom, and sides.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $1$ 인치인 정육면체 $6$ 개가 그림처럼 서로 붙어 있습니다. 위, 아래, 옆면을 모두 포함한 이 입체의 총 겉넓이를 제곱인치 단위로 구하세요.

주어진 것: $6$ 개의 단위 정육면체, 각 모서리 길이는 $1$ 인치; 정육면체 한 면의 넓이는 $1 \times 1 = 1$ 제곱인치; 정육면체들은 면 전체끼리 맞붙어 있고, 두 정육면체가 만나는 곳마다 $2$ 개의 면(각 정육면체에서 한 면씩)이 겉면에서 사라진다; 그림에서 면-면 접점은 모두 $5$ 곳: 중앙 수직 기둥의 정육면체 $2$ 개 사이, 그 기둥 아래쪽 정육면체의 왼쪽·오른쪽에 각 $1$ 개씩, 기둥 위쪽 정육면체의 오른쪽에 $1$ 개, 그리고 그 오른쪽 정육면체 위에 $1$ 개; 선택지: (A) $18$, (B) $24$, (C) $26$, (D) $30$, (E) $36$

구하는 것: 합쳐진 입체의 총 겉넓이(제곱인치)

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

울퉁불퉁한 입체의 보이는 면을 하나씩 세는 건 실수가 잦습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시선을 뒤집어요. $6$ 개 정육면체가 분리되어 있다고 가정한 총 면적($6 \times 6 = 36$)에서 시작해, 다른 정육면체에 눌려 가려진 면들만 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 가려진 면을 찾기 쉬워집니다 — 두 정육면체가 만나는 자리 하나당 접점 하나, 접점 하나당 단위 면 $2$ 개가 사라집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 계산을 두 조각으로 정리합니다: (a) 분리된 정육면체들의 총 면적, (b) 접점에서 가려진 면적.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.4 단계 1

1단계 — $6$ 개의 정육면체가 붙어 있지 않다고 가정하고 모든 면을 더합니다.
정육면체 하나에는 넓이 $1$ 제곱인치의 면이 $6$ 개 있어 겉넓이는 $6$.
따로 떨어진 $6$ 개의 정육면체에는 총 $6 \times 6 = 36$ 개의 단위 면이 있습니다.

$$\text{분리된 총합} = 6 \text{ 개} \times 6 \text{ 면} \times 1 \text{ in}^2 = 36 \text{ in}^2$$

💡 6학년 "전개도로 겉넓이 구하기" 그대로 — 정육면체 전개도는 단위 정사각형 $6$ 장이므로 $6$ 개 정육면체는 합쳐서 $36$ 장입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.4 단계 2

2단계 — 그림을 보면서 접점을 셉니다.
정육면체끼리 면 전체를 공유하는 곳을 하나씩 꼽아 봅니다: (1) 중앙 수직 기둥의 두 정육면체 사이, (2) 그 기둥 아래쪽과 왼쪽 정육면체, (3) 그 기둥 아래쪽과 오른쪽 정육면체, (4) 그 기둥 위쪽과 그 오른쪽에 붙은 정육면체, (5) 그 오른쪽 정육면체와 그 위에 올린 정육면체.

$$\text{접점} = 5$$

💡 그림을 따라 정육면체 하나씩 짚으면 접점이 빠짐없이 정확히 한 번씩 보입니다.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.4 단계 3

접점을 가려진 면 개수로 바꿉니다.
접점 하나는 한 정육면체의 면 한 장과 다른 정육면체의 면 한 장을 맞붙이므로, 접점마다 $2$ 개의 단위 면이 겉에서 사라집니다.
접점이 $5$ 곳이니 가려진 면은 $5 \times 2 = 10$ 장, 면적으로는 $10$ 제곱인치.

$$\text{가려진 면} = 5 \times 2 = 10,\quad \text{가려진 면적} = 10 \times 1 = 10 \text{ in}^2$$

💡 맞붙은 자리는 양쪽 정육면체에서 단위 정사각형을 하나씩 가져가요 — 종이 상자 전개도의 덮개를 닫는 것과 같은 원리.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.4 단계 4

분리된 총합에서 가려진 면적을 뺍니다.
합쳐진 입체의 겉넓이는 분리된 $36$ 에서 $5$ 개의 접점에 의해 묻힌 $10$ 을 뺀 값입니다.

$$\text{겉넓이} = 36 - 10 = 26 \text{ in}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 "모든 면에서 가려진 면을 빼기" — 관점 바꾸기를 겉넓이에 그대로 적용한 것입니다.

[1] #7 6.G.A.4 1단계 — $6$ 개의 정육면체가 붙어 있지 않다고 가정하고 모든 면을 더합니다. 정육면체 하나에는 넓이 $1$ 제곱인치의 면이 $6$ 개 있어

[2] #1 6.G.A.4 2단계 — 그림을 보면서 접점을 셉니다. 정육면체끼리 면 전체를 공유하는 곳을 하나씩 꼽아 봅니다: (1) 중앙 수직 기둥의 두 정육면체 사이,

[3] #16 6.G.A.4 접점을 가려진 면 개수로 바꿉니다. 접점 하나는 한 정육면체의 면 한 장과 다른 정육면체의 면 한 장을 맞붙이므로, 접점마다 $2$ 개의 단위

[4] #16 6.G.A.4 분리된 총합에서 가려진 면적을 뺍니다. 합쳐진 입체의 겉넓이는 분리된 $36$ 에서 $5$ 개의 접점에 의해 묻힌 $10$ 을 뺀 값입니다.

검토

합리성 확인: 두 가지로 확인합니다. 첫째, 접점마다 면 $2$ 개가 가려지므로 겉넓이는 $36$ 에서 짝수만큼 줄어야 합니다. 선택지 $18, 24, 26, 30, 36$ 의 감소량은 $18, 12, 10, 6, 0$ 으로 모두 짝수지만, 그림의 접점 $5$ 개에 대응하는 $5 \times 2 = 10$ 과 일치하는 값은 $36 - 26 = 10$ 뿐이라 (C) 만 맞습니다. 둘째, 직관 확인: 정육면체 하나의 겉넓이는 $6$ 이고, 정육면체 $6$ 개를 일자로 붙여도 접점은 $5$ 개라서 $36 - 10 = 26$ — 본 문제의 모양과 같은 값이 나옵니다. 겉넓이는 정확한 모양이 아니라 접점의 수에만 달려 있다는 좋은 상기점입니다.

대안 접근: 도구 #10(실물 모형 만들기): 종이 정육면체나 각설탕 $6$ 개를 그림 그대로 테이프로 붙이고, 입체의 위·아래·앞·뒤·왼·오른쪽 여섯 시점에서 보이는 단위 정사각형을 직접 세어 합하면 같은 $26$ 제곱인치가 나오고, 접점 세기 방법에 의존하지 않고 (C) 를 다시 확인할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.4 전개도로 3차원 도형을 나타내고 겉넓이 구하기 ($6$ 개의 정육면체 각각을 단위 정사각형 $6$ 장의 전개도로 보고 $36$ 제곱인치를 얻은 뒤, $5$ 개의 면-면 접점에 의해 가려진 $10$ 장을 빼서 $26$ 제곱인치를 구하는 데 사용.)

⭐ 정육면체들을 떼어 놓았다고 가정하면 면이 $36$ 장, 두 정육면체가 만나는 자리마다 면 $2$ 장씩 지우면 ($5$ 자리 = $10$ 장) 남는 게 겉넓이: $36 - 10 = 26$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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